Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 259 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.8. Приближение интегрируемых функций 259
Пусть несобственный интеграл
R
+∞
−∞
|f(x)|dx имеет осо-
бенности в точках c
i
, −∞ = c
0
< c
1
< . . . < c
k−1
< c
k
=
= +∞, и функция f интегрируема по Риману на каждом
отрезке, не содержащем точек c
i
. Из сходимости интеграла
R
+∞
−∞
|f(x)|dx следует, что для всякого ε > 0 существуют
такие числа A, B, η, −∞ < A < c
1
, c
k−1
< B < +∞, η > 0,
что
Z
A
−∞
|f|dx +
k−1
X
i=1
Z
c
i
−η
c
i
+η
|f|dx +
Z
+∞
B
|f|dx < ε.
Рассмотрим функцию
f
ε
(x) =
0, для x ∈ (−∞, A) ∪
S
k−1
i=1
(c
i
+ η, c
i
− η)
∪
∪(B, +∞),
f(x) для остальных x.
Тогда f
ε
интегрируема на [A, B], равна 0 вне [A, B] и
Z
+∞
−∞
|f(x) −f
ε
(x)|dx < ε. (3)
В силу теоремы 1 существует ступенчатая на [A, B] функ-
ция h
ε
такая, что
Z
B
A
|f
ε
(x) − h
ε
(x)|dx < ε. (4)
Будем считать h
ε
продолженной нулем на (−∞, A) и
(B, +∞). Тогда из (3), (4) получаем, что
Z
+∞
−∞
|f(x) − h
ε
(x)|dx 6
6
Z
+∞
−∞
|f(x)−f
ε
(x)|dx+
Z
+∞
−∞
|f
ε
(x)−h
ε
(x)|dx < ε+ε = 2ε.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть f абсолютно интегрируема на
(a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞.Тогда для любого ε > 0 суще-
        § 14.8. Приближение интегрируемых функций         259
                                          R +∞
   Пусть несобственный интеграл −∞ |f (x)| dx имеет осо-
бенности в точках ci , −∞ = c0 < c1 < . . . < ck−1 < ck =
= +∞, и функция f интегрируема по Риману на каждом
отрезке,
R +∞     не содержащем точек ci . Из сходимости интеграла
 −∞ |f (x)| dx следует, что для всякого ε > 0 существуют
такие числа A, B, η, −∞ < A < c1 , ck−1 < B < +∞, η > 0,
что Z                 k−1 Z ci −η
         A            X                     Z +∞
            |f | dx +             |f | dx +      |f | dx < ε.
        −∞             i=1   ci +η          B

Рассмотрим функцию
                                 S                    
                                     k−1
         
         
         0,    для x ∈ (−∞, A) ∪        (c
                                     i=1 i  + η, ci − η)  ∪
fε (x) =        ∪(B, +∞),
         
         
         f (x) для остальных x.

Тогда fε интегрируема на [A, B], равна 0 вне [A, B] и
               Z +∞
                    |f (x) − fε (x)| dx < ε.               (3)
                  −∞

В силу теоремы 1 существует ступенчатая на [A, B] функ-
ция hε такая, чтоZ
                    B
                        |fε (x) − hε (x)| dx < ε.          (4)
                   A
   Будем считать hε продолженной нулем на (−∞, A) и
(B, +∞). Тогда из (3), (4) получаем, что
Z +∞
     |f (x) − hε (x)| dx 6
 −∞
  Z +∞                     Z +∞
6       |f (x)−fε (x)| dx+      |fε (x)−hε (x)| dx < ε+ε = 2ε.
   −∞                           −∞

Теорема доказана.
    Следствие 1. Пусть f абсолютно интегрируема на
(a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞.Тогда для любого ε > 0 суще-

Страницы