Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.8. Приближение интегрируемых функций 257
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольно ε > 0.
Пусть h — ступенчатая на [a, b] функция, для которой вы-
полняется (1). Построим непрерывную на [a, b] кусочно ли-
нейную функцию ϕ, для которой
Z
b
a
|h(x) − ϕ(x)|dx < ε. (2)
Это построение можно осуществить так. Ступенчатая
функция h принимает постоянное значение на каждом из
интервалов (x
i−1
, x
i
) разбиения τ : a = x
0
< x
1
< . . . <
< x
i
τ
= b. Построим функции ϕ
i
, непрерывные и кусочно
линейные на [a, b] следующим образом. Взяв η ∈
0,
1
2
|τ|
,
положим
ϕ
i
(x) =
h(x) при x
i−1
+ η < x < x
i
− η,
0 при x 6∈ (x
i−1
, x
i
),
линейна на [x
i−1
, x
i−1
+ η] и на [x
i
− η, x
i
].
Пусть ϕ =
i
τ
P
i=1
ϕ
i
. Тогда, если |ϕ| 6 M, то
Z
b
a
|h(x) − ϕ(x)|dx =
i
τ
X
i−1
Z
x
i
x
i−1
|h(x) − ϕ
i
(x)|dx =
=
i
τ
X
i=1
Z
x
i−1
+η
x
i−1
|h(x) − ϕ
i
(x)|dx +
Z
x
i
x
i
−η
|h(x) − ϕ
i
(x)|dx
!
6
6 M 2ηi
τ
< ε,
если η > 0 достаточно мало.
Теперь из (1) и (2) следует, что
Z
b
a
|f(x) − ϕ(x)|dx 6
6
Z
b
a
|f(x) − h(x)|dx +
Z
b
a
|h(x) − ϕ(x)|dx < ε + ε = 2ε,
и теорема доказана.
               § 14.8. Приближение интегрируемых функций                              257

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольно ε > 0.
Пусть h — ступенчатая на [a, b] функция, для которой вы-
полняется (1). Построим непрерывную на [a, b] кусочно ли-
нейную функцию ϕ, для которой
                    Z b
                        |h(x) − ϕ(x)| dx < ε.          (2)
                               a
   Это построение можно осуществить так. Ступенчатая
функция h принимает постоянное значение на каждом из
интервалов (xi−1 , xi ) разбиения τ : a = x0 < x1 < . . . <
< xiτ = b. Построим функции ϕi , непрерывные и кусочно     
линейные на [a, b] следующим образом. Взяв η ∈ 0, 21 |τ | ,
положим
          
          h(x)
                        при xi−1 + η < x < xi − η,
  ϕi (x) = 0             при x 6∈ (xi−1 , xi ),
          
           линейна на [xi−1 , xi−1 + η] и на [xi − η, xi ].
          

                     iτ
                     P
Пусть ϕ =                 ϕi . Тогда, если |ϕ| 6 M , то
                    i=1
Z    b                             iτ Z
                                   X      xi
         |h(x) − ϕ(x)| dx =                     |h(x) − ϕi (x)| dx =
 a                                 i−1   xi−1
         iτ
                                                                                  !
         X  Z       xi−1 +η                         Z   xi
=                          |h(x) − ϕi (x)| dx +              |h(x) − ϕi (x)| dx       6
         i=1       xi−1                              xi −η
                                                                     6 M 2ηiτ < ε,
если η > 0 достаточно мало.
    Теперь из (1) и (2) следует, что
Z b
    |f (x) − ϕ(x)| dx 6
 a
        Z b                     Z b
     6      |f (x) − h(x)| dx +     |h(x) − ϕ(x)| dx < ε + ε = 2ε,
               a                           a
и теорема доказана.

Страницы