Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 254 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

254 Глава 14. Определенный интеграл
2.
◦
функция g непрерывно дифференцируема, ограни-
чена и монотонна на [a, +∞);
Тогда интеграл (8) сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что признак Абеля
вытекает из признака Дирихле.
Заметим сначала, что функция f имеет на [a, b) перво-
образную F (x) =
R
x
a
f(t) dt, ограниченность которой сле-
дует из ее непрерывности и существования конечного пре-
дела lim
x→∞
F (x) =
R
∞
a
f(t) dt.
В силу монотонности и ограниченности функции g су-
ществует lim
x→+∞
g(x) C c. Тогда функция ˜g B g − c непре-
рывно дифференцируема и монотонна на [a, ∞) и ˜g(x) → 0
при x → +∞. Поэтому интеграл
Z
∞
a
f(x)g(x) dx =
Z
b
a
f(x)˜g(x) dx +
Z
+∞
a
cf(x) dx
сходится как сумма двух сходящихся интегралов (первый
из них — по признаку Дирихле, а второй — по условию
теоремы).
Пример 3. Покажем, что интеграл
R
∞
1
sin x
x
dx схо-
дится, но не абсолютно. Для доказательства его сходи-
мости применим признак Дирихле, положив f(x) = sin x,
g(x) =
1
x
. Тогда f имеет ограниченную первообразную
F (x) = −cos x, а g непрерывно дифференцируема, моно-
тонна и g(x) → 0 при x → ∞. Следовательно,
R
∞
1
sin x
x
dx
сходится.
Установим, что он не сходится абсолютно. Для этого
покажем, что функция
F (b
0
) =
Z
b
0
π
|sin x|
x
dx
254                   Глава 14. Определенный интеграл

      2.◦ функция g непрерывно дифференцируема, ограни-
          чена и монотонна на [a, +∞);
Тогда интеграл (8) сходится.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что признак Абеля
вытекает из признака Дирихле.

                  R x что функция f имеет на [a, b) перво-
   Заметим сначала,
образную F (x) = a f (t) dt, ограниченность которой сле-
дует из ее непрерывности
                 R∞        и существования конечного пре-
дела lim F (x) = a f (t) dt.
       x→∞
   В силу монотонности и ограниченности функции g су-
ществует lim g(x) C c. Тогда функция g̃ B g − c непре-
                x→+∞
рывно дифференцируема и монотонна на [a, ∞) и g̃(x) → 0
при x → +∞. Поэтому интеграл
       Z    ∞                    Z   b                          Z   +∞
                f (x)g(x) dx =           f (x)g̃(x) dx +                 cf (x) dx
        a                        a                              a

сходится как сумма двух сходящихся интегралов (первый
из них — по признаку Дирихле, а второй — по условию
теоремы).
                                        R∞
    Пример 3. Покажем, что интеграл 1 sinx x dx схо-
дится, но не абсолютно. Для доказательства его сходи-
мости применим признак Дирихле, положив f (x) = sin x,
g(x) = x1 . Тогда f имеет ограниченную первообразную
F (x) = − cos x, а g непрерывно дифференцируема, моно-
                                            R∞
тонна и g(x) → 0 при x → ∞. Следовательно, 1 sinx x dx
сходится.
   Установим, что он не сходится абсолютно. Для этого
покажем, что функция
                                             b0
                                                  | sin x|
                                         Z
                          F (b0 ) =                        dx
                                          π           x

Страницы