Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

252 Глава 14. Определенный интеграл
З а м е ч а н и е. Равенство (7) можно записать в
виде
Z
b
a
f(x) dx B lim
a
0
→a+0
b
0
→b−0
Z
b
0
a
0
f(x) dx,
где стоящий справа предел является пределом функции
двух переменных.
Дадим теперь определение несобственного интеграла с
несколькими особенностями.
Определение 5. Пусть функция f определена на ин-
тервале (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ с выколотыми точками
c
1
, . . . , c
k−1
, a = c
0
< c
1
< . . . < c
k−1
< c
k
= b. Пусть
f интегрируема по Риману на каждом отрезке из (a, b), не
содержащем ни одной из точек c
i
(1 6 i 6 k − 1). Символ
R
b
a
f(x) dx называется несобственным интегралом с осо-
бенностями в точках c
0
, c
1
, . . . , c
k
.
Говорят, что несобственный интеграл
R
b
a
f(x) dx схо-
дится и при этом
Z
b
a
f(x) dx B
k
X
i=1
Z
c
i
c
i−1
f(x) dx,
если каждый из стоящих справа несобственных интегралов
с особенностями в концах интервала (c
i−1
, c
i
) сходится. В
противном случае говорят, что интеграл
R
b
a
f(x) dx расхо-
дится.
Мы изучали до сих пор свойства лишь несобствен-
ного интеграла (1). Эти свойства, как видно из определе-
ний 3, 4, 5, легко переносятся на несобственные интегралы
с особенностью на нижнем пределе и на несобственные ин-
тегралы с несколькими особенностями.
Упражнение. Пусть (a, b) ⊂ (−∞, +∞) и сходится
несобственный интеграл
R
b
a
f(x) dx с несколькими особен-
ностями.
Доказать, что при x
0
∈ (a, b) функция F (x) =
R
x
x
0
f(t) dt
равномерно непрерывна на (a, b).
252            Глава 14. Определенный интеграл

   З а м е ч а н и е. Равенство (7) можно записать в
виде
           Z b                 Z b0
               f (x) dx B 0lim      f (x) dx,
                            a →a+0
               a            b0 →b−0
                                      a0
где стоящий справа предел является пределом функции
двух переменных.
   Дадим теперь определение несобственного интеграла с
несколькими особенностями.
    Определение 5. Пусть функция f определена на ин-
тервале (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ с выколотыми точками
c1 , . . . , ck−1 , a = c0 < c1 < . . . < ck−1 < ck = b. Пусть
f интегрируема по Риману на каждом отрезке из (a, b), не
содержащем ни одной из точек ci (1 6 i 6 k − 1). Символ
Rb
 a f (x) dx называется несобственным интегралом с осо-
бенностями в точках c0 , c1 , . . . , ck .          Rb
    Говорят, что несобственный интеграл a f (x) dx схо-
дится и при этом    Z b            k Z ci
                                   X
                        f (x) dx B        f (x) dx,
                a            i=1   ci−1

если каждый из стоящих справа несобственных интегралов
с особенностями в концах интервала (ci−1 , ci ) сходится. В
                                           Rb
противном случае говорят, что интеграл a f (x) dx расхо-
дится.
    Мы изучали до сих пор свойства лишь несобствен-
ного интеграла (1). Эти свойства, как видно из определе-
ний 3, 4, 5, легко переносятся на несобственные интегралы
с особенностью на нижнем пределе и на несобственные ин-
тегралы с несколькими особенностями.
    Упражнение. Пусть (a, b) ⊂ (−∞, +∞) и сходится
                           Rb
несобственный интеграл a f (x) dx с несколькими особен-
ностями.                                           Rx
    Доказать, что при x0 ∈ (a, b) функция F (x) = x0 f (t) dt
равномерно непрерывна на (a, b).

Страницы