Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

250 Глава 14. Определенный интеграл
Определение 2. Несобственный интеграл
R
b
a
f(x) dx
называется абсолютно сходящимся , если сходится инте-
грал
R
b
a
|f(x)|dx.
Теорема 4. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из сходимости
интеграла
R
b
a
|f(x)|dx следует, что для него выполняется
условие Коши (3). Но тогда условие (3) выполняется и для
интеграла
R
b
a
f(x) dx в силу оценки
Z
b
00
b
0
f(x) dx
6
Z
b
00
b
0
|f(x)|dx при a 6 b
0
< b
00
< b.
Применяя критерий Коши к интегралу
R
b
a
f(x) dx, убежда-
емся, что он сходится.
Из последнего неравенства следует, что в условиях тео-
ремы 4
R
b
a
f(x) dx
6
R
b
a
|f(x)|dx.
З а м е ч а н и е. Сходимость несобственного инте-
грала
R
b
a
|f(x)|dx не дает права написать символ
R
b
a
f(x) dx,
поскольку функция может не быть интегрируемой на неко-
тором отрезке [a, b
0
], в то время как модуль ее интегрируем
на этом отрезке. Пример такой функции был приведен в
§13.3 при доказательстве свойства 7
◦
интегрируемых функ-
ций.
З а м е ч а н и е. Сходящийся интеграл мо-
жет не являться абсолютно сходящимся, как, например,
R
∞
1
sin x
x
dx, который будет исследован ниже.
Определение 3. Пусть f: (a, b] → R, −∞ 6 a, инте-
грируема по Риману на любом отрезке [a
0
, b] ⊂ (a, b]. Сим-
вол
R
b
a
f(x) dx называется несобственным интегралом (Ри-
мана) с особенностью в a (или с особенностью на нижнем
пределе). При этом говорят, что несобственный интеграл
250                    Глава 14. Определенный интеграл
                                            Rb
   Определение 2. Несобственный интеграл a f (x) dx
называется
    Rb      абсолютно сходящимся, если сходится инте-
грал a |f (x)| dx.

      Теорема 4. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
   Д о к а зRа т е л ь с т в о. Заметим, что из сходимости
              b
интеграла a |f (x)| dx следует, что для него выполняется
условие Коши (3). Но тогда условие (3) выполняется и для
            Rb
интеграла a f (x) dx в силу оценки
       Z   b00                Z   b00
                 f (x) dx 6             |f (x)| dx при a 6 b0 < b00 < b.
        b0                    b0
                                      Rb
Применяя критерий Коши к интегралу a f (x) dx, убежда-
емся, что он сходится.
   Из последнего неравенства следует, что в условиях тео-
        Rb           Rb
ремы 4 a f (x) dx 6 a |f (x)| dx.
     З аR м е ч а н и е. Сходимость несобственного  R b инте-
          b
 грала a |f (x)| dx не дает права написать символ a f (x) dx,
 поскольку функция может не быть интегрируемой на неко-
 тором отрезке [a, b0 ], в то время как модуль ее интегрируем
 на этом отрезке. Пример такой функции был приведен в
 § 13.3 при доказательстве свойства 7◦ интегрируемых функ-
 ций.
     З а м е ч а н и е. Сходящийся интеграл мо-
Rжет   не являться абсолютно сходящимся, как, например,
   ∞ sin x
  1    x dx, который будет исследован ниже.
   Определение 3. Пусть f : (a, b] → R, −∞ 6 a, инте-
грируема по Риману на любом отрезке [a0 , b] ⊂ (a, b]. Сим-
    Rb
вол a f (x) dx называется несобственным интегралом (Ри-
мана) с особенностью в a (или с особенностью на нижнем
пределе). При этом говорят, что несобственный интеграл

Страницы