Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 247 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14.7. Несобственные интегралы 247
несобственный интеграл
Z
b
a
(λf(x) + µg(x)) dx = λ
Z
b
a
f(x) dx + µ
Z
b
a
g(x) dx.
3.
◦
(Интегрирование неравенств). Пусть интегралы
R
b
a
f(x) dx,
R
b
a
g(x) dx сходятся и f 6 g на [a, b). То-
гда
Z
b
a
f(x) dx 6
Z
b
a
g(x) dx.
4.
◦
(Формула Ньютона–Лейбница). Пусть функция f
непрерывна на [a, b), Φ — первообразная для f на
[a, b). Тогда
Z
b
a
f(x) dx = Φ(b − 0) − Φ(a), (4)
если хотя бы один из пределов, стоящих в левой и
правой частях, существует и конечен.
5.
◦
(Интегрирование по частям). Пусть функции u, v:
[a, b) → R кусочно непрерывно дифференцируемы на
каждом отрезке [a, b
0
] ⊂ [a, b), то
Z
b
a
uv
0
dx = uv
b
a
−
Z
b
a
u
0
v dx, (5)
если оба стоящие справа предела существуют и ко-
нечны.
6.
◦
(Замена переменного). Пусть функция f непрерывна
на [a, b), функция ϕ непрерывно дифференцируема
на [α, β), β 6 +∞, причем a = ϕ(a) 6 ϕ(t) < b =
= lim
t→β−0
ϕ(t). Тогда
Z
b
a
f(x) dx =
Z
β
α
f[ϕ
0
(t)]ϕ
0
(t) dt.
При этом интегралы в обеих частях этой формулы
сходятся или расходятся одновременно.
            § 14.7. Несобственные интегралы                               247

      несобственный интеграл
      Z b                         Z b              Z b
          (λf (x) + µg(x)) dx = λ     f (x) dx + µ     g(x) dx.
       a                                       a                      a

3.◦   (Интегрирование неравенств). Пусть интегралы
      Rb          Rb
       a f (x) dx, a g(x) dx сходятся и f 6 g на [a, b). То-
      гда
                     Z b            Z b
                         f (x) dx 6     g(x) dx.
                           a                       a
4.◦ (Формула Ньютона–Лейбница). Пусть функция f
    непрерывна на [a, b), Φ — первообразная для f на
    [a, b). Тогда
                 Z b
                     f (x) dx = Φ(b − 0) − Φ(a),  (4)
                      a
    если хотя бы один из пределов, стоящих в левой и
    правой частях, существует и конечен.
5.◦ (Интегрирование по частям). Пусть функции u, v:
    [a, b) → R кусочно непрерывно дифференцируемы на
    каждом отрезке [a, b0 ] ⊂ [a, b), то
                 Z b              b    Z b
                     uv 0 dx = uv −        u0 v dx, (5)
                      a                        a       a

   если оба стоящие справа предела существуют и ко-
   нечны.
 ◦
6. (Замена переменного). Пусть функция f непрерывна
   на [a, b), функция ϕ непрерывно дифференцируема
   на [α, β), β 6 +∞, причем a = ϕ(a) 6 ϕ(t) < b =
   = lim ϕ(t). Тогда
        t→β−0
                 Z    b                Z   β
                          f (x) dx =           f [ϕ0 (t)]ϕ0 (t) dt.
                  a                    α
      При этом интегралы в обеих частях этой формулы
      сходятся или расходятся одновременно.

Страницы