Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

244 Глава 14. Определенный интеграл
а точки ξ
i
∈ (x
i−1
, x
i
) возникли в результате приме нения
формулы конечных приращений Лагранжа.
Определение 1. Площадью поверхности S называ-
ется
mes S = lim
|τ|→0
mes S(τ), (3)
если этот предел существует.
Покажем, что в рассматриваемом случае площадь по-
верхности S существует, причем
mes S = 2π
Z
b
a
f(x)
p
1 + (f
0
(x))
2
dx. (4)
Обозначим через σ
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
) интегральную сумму Ри-
мана последнего интеграла, построенную по разбиению τ и
тем же самым, что и в (2), отмеченным точкам ξ
1
, ξ
2
, . . . ,
ξ
iτ
. Тогда, полагая M
1
= max
[a,b]
|f
0
|, имеем
|mes S(τ) − 2πσ
τ
| 6 2π
i
τ
X
i=1
|f(x
i−1
) − f(ξ
i
)|
2
+
+
|f(x
i
) − f(ξ
i
)|
2
p
1 + (f
0
(ξ
i
))
2
∆x
i
6
6 2π
i
τ
X
i=1
M
1
|τ|
q
1 + M
2
1
∆x
i
=
= 2πM
1
q
1 + M
2
1
(b − a)|τ| → 0 при |τ| → 0.
Следовательно, левая часть этой цепочки неравенств
стремится к нулю при |τ | → 0.
Но
σ
τ
→
Z
b
a
f(x)
p
1 + (f
0
(x))
2
dx (|τ| → 0),
поскольку подынтегральная функция непрерывна на [a, b].
Следовательно, существует предел (3) и справедливо ра-
венство (4).
244              Глава 14. Определенный интеграл

а точки ξi ∈ (xi−1 , xi ) возникли в результате применения
формулы конечных приращений Лагранжа.
   Определение 1. Площадью поверхности S называ-
ется
              mes S = lim mes S(τ ),         (3)
                                  |τ |→0
если этот предел существует.
   Покажем, что в рассматриваемом случае площадь по-
верхности S существует, причем
                      Z b      p
           mes S = 2π     f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx. (4)
                              a
Обозначим через στ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ) интегральную сумму Ри-
мана последнего интеграла, построенную по разбиению τ и
тем же самым, что и в (2), отмеченным точкам ξ1 , ξ2 , . . . ,
ξiτ . Тогда, полагая M1 = max |f 0 |, имеем
                                  [a,b]
                             iτ 
                             X    |f (xi−1 ) − f (ξi )|
| mes S(τ ) − 2πστ | 6 2π                               +
                                           2
                            i=1
                                 
              |f (xi ) − f (ξi )| p
            +                         1 + (f 0 (ξi ))2 ∆xi 6
                       2
                       X iτ         q
                6 2π        M1 |τ | 1 + M12 ∆xi =
                       i=1
                             q
                  = 2πM1          1 + M12 (b − a)|τ | → 0 при |τ | → 0.
   Следовательно, левая часть этой цепочки неравенств
стремится к нулю при |τ | → 0.
   Но
              Z b      p
        στ →      f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx (|τ | → 0),
                  a
поскольку подынтегральная функция непрерывна на [a, b].
Следовательно, существует предел (3) и справедливо ра-
венство (4).

Страницы