Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 240 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

240 Глава 14. Определенный интеграл
Перечислим свойства меры, которые будут использо-
ваны в этом параграфе:
a) если P — прямоугольный параллелепипед в R
n
,
(a
1
, b
1
) × . . . × (a
n
, b
n
) ⊂ P ⊂ [a
1
, b
1
] × . . . × [a
n
, b
n
], то
µP =
Q
n
j=1
(b
j
− a
j
);
b) (аддитивность меры), если множества E
1
, E
2
измеримы,
и E
1
∩ E
2
6= ∅, то µ(E
1
∪ E
2
) = µE
1
+ µE
2
;
c) (монотонность меры), если множества E
1
, E
2
измеримы,
и E
1
⊂ E
2
, то µE
1
6 µE
2
.
(1) Площадь криволинейной трапеции. Криволиней-
ной трапецией называется множество G ⊂ R
2
вида
G = {(x, y) : a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)}, (1)
где функция f непрерывна на отрезке [a, b], f > 0 на [a, b].
Пусть τ = {x
i
}
i
τ
0
, a = x
0
< x
1
< . . . < i
τ
= b, m
i
=
= min
[x
i−1
,x
i
]
f, M
i
= max
[x
i−1
,x
i
]
f.
Построим две замкнутые ступенчатые фигуры G
∗
(τ),
G
∗
(τ) следующим образом:
G
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
[x
i−1
, x
i
] × [0, m
i
],
G
∗
(τ) =
i
τ
[
i=1
[x
i−1
, x
i
] × [0, M
i
].
Из G
∗
(τ) ⊂ G ⊂ G
∗
(τ) следует, что
x
y
0
a
b
Рис. 14.2
µG
∗
(τ) 6 µG 6 G
∗
(τ).
Но
µG
∗
(τ) =
i
τ
X
i=1
m
i
∆x
i
= S
τ
,
µG
∗
(τ) =
i
τ
X
i=1
M
i
∆x
i
= S
τ
,
240                   Глава 14. Определенный интеграл

    Перечислим свойства меры, которые будут использо-
ваны в этом параграфе:
a) если P — прямоугольный параллелепипед в Rn ,
   (a1 , b1 )Q× . . . × (an , bn ) ⊂ P ⊂ [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ], то
   µP = nj=1 (bj − aj );
b) (аддитивность меры), если множества E1 , E2 измеримы,
   и E1 ∩ E2 6= ∅, то µ(E1 ∪ E2 ) = µE1 + µE2 ;
c) (монотонность меры), если множества E1 , E2 измеримы,
   и E1 ⊂ E2 , то µE1 6 µE2 .
(1) Площадь криволинейной трапеции. Криволиней-
ной трапецией называется множество G ⊂ R2 вида
                 G = {(x, y) : a 6 x 6 b,               0 6 y 6 f (x)},            (1)
где функция f непрерывна на отрезке [a, b], f > 0 на [a, b].
   Пусть τ = {xi }i0τ , a = x0 < x1 < . . . < iτ = b, mi =
= min f , Mi = max f .
   [xi−1 ,xi ]           [xi−1 ,xi ]
    Построим две замкнутые ступенчатые фигуры G∗ (τ ),
G∗ (τ ) следующим образом:
                                     iτ
                                     [
                      G∗ (τ ) =            [xi−1 , xi ] × [0, mi ],
                                     i=1
                                     [iτ
                      G∗ (τ ) =            [xi−1 , xi ] × [0, Mi ].
                                     i=1
       Из G∗ (τ ) ⊂ G ⊂ G∗ (τ ) следует, что
  y
                                                    µG∗ (τ ) 6 µG 6 G∗ (τ ).
                                                   Но
                                                               iτ
                                                               X
                                                 µG∗ (τ ) =           mi ∆xi = S τ ,
                                                               i=1
   0        a                    b     x
                                                                iτ
                 Рис. 14.2                       µG∗ (τ ) =
                                                               X
                                                                      Mi ∆xi = S τ ,
                                                               i=1

Страницы