Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 237 стр.

   § 14.5. Замена переменной и интегрирование по частям       237

   Значение формулы Ньютона–Лейбница в том, что она
связывает два понятия: неопределенного и определенного
интеграла, которые были введены и изучались независимо.
Она дает возможность вычислить определенный интеграл,
если найден неопределенный.

  § 14.5. Замена переменной и интегрирование
                    по частям
    Теорема 1 (замена переменной). Пусть функции
ϕ, ϕ0 непрерывны на отрезке [α, β], а функция f непрерывна
на отрезке ϕ([α, β]), a B ϕ(α), b B ϕ(β). Тогда
              Z b            Z β
                  f (x) dx =     f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.     (1)
                   a             α
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ — первообразная для
f на отрезке ϕ([α, β]). Тогда Φ(ϕ) — первообразная для
f (ϕ)ϕ0 на отрезке [α, β], поскольку (Φ(ϕ))0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t),
где производные при t = α, β понимаются как односторон-
ние (см. теорему 5.5.1 и замечание к ней).
    Дважды воспользовавшись формулой Ньютона–Лейбни-
ца, получаем (при любом расположении точек a и b)
                    Z b
                        f (x) dx = Φ(b) − Φ(a),
                      a
   Z β
       f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt = Φ(ϕ(β)) − Φ(ϕ(α)) = Φ(b) − Φ(a).
    α
Из этих двух равенств вытекает утверждение теоремы.
   Теорема 2 (интегрирование по частям). Пусть
функции u, v, u0 , v 0 непрерывны на отрезке [a, b]. Тогда
     Z b                          b   Z b
               0
         u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −        u0 (x)v(x) dx,   (2)
        a                             a     a
               b
где u(x)v(x)       = u(b)v(b) − u(a)v(a).
               a