Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

220 Глава 14. Определенный интеграл
называемую интегральной суммой Римана функции f.
Если функция f неотрицательна, слагаемое f(ξ
i
)∆x
i
суммы Римана равно площади прямоугольника с основа-
нием [x
i−1
, x
i
] и высотой f(ξ
i
), а вся сумма — площади
ступенчатой фигуры, образованной объединением всех та-
ких прямоугольников.
Определение 2. Число I называется определенным
интегралом Римана функции f на отрезке [a, b] и обозна-
чается
Z
b
a
f(x) dx, если для любого ε > 0 существует δ =
= δ(ε) > 0 такое, что
i
τ
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
− I
< ε
для любых τ с мелкостью |τ| < δ и любого набора отмечен-
ных точек ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
.
Функцию f при этом называют интегрируемой по Ри-
ману на отрезке [a, b].
Кратко можно записать
Z
b
a
f(x) dx B lim
|τ|→0
S
τ
(f; ξ
1
, . . . , ξ
i
τ
),
вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен
в ε, δ-терминах в определении 1 (это понятие отличается от
изученных понятий предела последовательности и предела
функции).
Поскольку дальше мы будем иметь дело лишь с опреде-
ленным интегралом Римана, то будем называть его просто
определенным интегралом, а функцию, интегрируемую по
Риману, — просто интегрируемой функцией.
В следующей теореме показывается, что интеграл мо-
жет существовать только для ограниченных функций.
Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке,
то она ограничена на этом отрезке.
220             Глава 14. Определенный интеграл

называемую интегральной суммой Римана функции f .
   Если функция f неотрицательна, слагаемое f (ξi )∆xi
суммы Римана равно площади прямоугольника с основа-
нием [xi−1 , xi ] и высотой f (ξi ), а вся сумма — площади
ступенчатой фигуры, образованной объединением всех та-
ких прямоугольников.
   Определение 2. Число I называется определенным
интегралом Римана функции f на отрезке [a, b] и обозна-
       Z b
чается     f (x) dx, если для любого ε > 0 существует δ =
        a
= δ(ε) > 0 такое, что
                    iτ
                    X
                          f (ξi )∆xi − I < ε
                    i=1
для любых τ с мелкостью |τ | < δ и любого набора отмечен-
ных точек ξ1 , . . . , ξiτ .
   Функцию f при этом называют интегрируемой по Ри-
ману на отрезке [a, b].
   Кратко можно записать
           Z b
               f (x) dx B lim Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξiτ ),
            a               |τ |→0
вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен
в ε, δ-терминах в определении 1 (это понятие отличается от
изученных понятий предела последовательности и предела
функции).
    Поскольку дальше мы будем иметь дело лишь с опреде-
ленным интегралом Римана, то будем называть его просто
определенным интегралом, а функцию, интегрируемую по
Риману, — просто интегрируемой функцией.
    В следующей теореме показывается, что интеграл мо-
жет существовать только для ограниченных функций.
   Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке,
то она ограничена на этом отрезке.

Страницы