Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

218 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных
В рассматриваемом случае имеются две стационарные
точки, удовлетворяющие уравнениям связи:
x = y = ±
√
6
6
, z = ∓
√
6
3
; при этом λ
1
= ∓
√
6
12
.
Будем исследовать их одновременно.
d
2
L = −2λ
1
(dx
2
+ dy
2
+ dz
2
) + 2z dx dy + 2y dx dz+
+2x dy dz = ±
√
6
6
[dx
2
+ dy
2
+ dz
2
−4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]
является неопределенной квадратичной формой, т. е. при-
нимает положительные и отрицательные значения (ср.
dx = 1, dy = dz = 0 и dx = dy = 1, dz = 0).
Построим
d
2
L, связав в d
2
L дифференциалы dx, dy, dz
требованием (3):
x dx + y dy + z dz = 0
dx + dy + dz = 0
)
. (6)
В каждой из рассматриваемых двух точек x = y, так
что решение системы (6) (
dx,
dy,
dz) имеет вид (
dx, −
dx, 0).
Поэтому d
2
L = ±
√
6
6
4
dx
2
является положительно [отри-
цательно] определенной квадратичной формой одного пере-
менного.
С помощью теоремы 3 заключаем, что
√
6
6
,
√
6
6
, −
√
6
3
является точкой строгого условного минимума, а
−
√
6
6
, −
√
6
6
,
√
6
3
— точкой строгого условного мак-
симума. Значение функции f в этих точках равны
соответственно ∓
√
6
18
.
218    Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

   В рассматриваемом случае имеются две стационарные
точки, удовлетворяющие уравнениям связи:
               √          √                     √
                 6          6                     6
     x=y=±         ,z = ∓     ; при этом λ1 = ∓     .
                6          3                    12
   Будем исследовать их одновременно.
d2 L = −2λ1 (dx2 + dy 2 + dz 2 ) + 2z dx dy + 2y dx dz+
               √
                 6 2
+2x dy dz = ±     [dx + dy 2 + dz 2 − 4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]
                6
является неопределенной квадратичной формой, т. е. при-
нимает положительные и отрицательные значения (ср.
dx = 1, dy = dz = 0 и dx = dy = 1, dz = 0).
                
   Построим d2 L, связав в d2 L дифференциалы dx, dy, dz
требованием (3):
                                        )
                 x dx + y dy + z dz = 0
                                          .          (6)
                      dx + dy + dz = 0
   В каждой из рассматриваемых двух точек x = y, так
                                                     
что решение системы
                 √
                     (6) ( dx, dy, dz) имеет вид (dx,  −dx, 0).
                        2
          2        6
Поэтому d L = ± 6 4 dx является положительно [отри-
цательно] определенной квадратичной формой одного пере-
менного.                                   √ √            √ 
   С помощью теоремы 3 заключаем, что 6 , 6 , − 36
                                               6     6

является точкой строгого условного минимума, а
  √      √ √
  − 66 , − 66 , 36 — точкой строгого условного мак-
симума.           √ функции f в этих точках равны
            Значение
соответственно ∓ 186 .

Страницы