Основы применения вычислительной техники и программирование. Беспалов В.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8.2. Метод Гаусса
Наиболее распространенные прямые методы основаны на приве-
дении СЛАУ к «треугольному» виду (см. матрицу Т). Это достигается
последовательным исключением неизвестных из уравнений исходной
системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается X
1
из
всех последующих уравнений системы, затем, используя второе уравне-
ние, исключается X
2
из третьего и всех последующих уравнений. Этот
процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до
тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется
лишь один член с неизвестным X
n
, т. е. матрица системы будет приведе-
на к треугольному виду. (Замечание: к такому виду приводится только
невырожденная матрица, иначе данный метод неприменим).
Пусть методом исключения Гаусса требуется решить СЛАУ
x
1
+ x
2
+ x
3
– x
4
= 2 ;
x
1
– x
2
– x
3
+ x
4
= 0 ;
2x
1
+ x
2
– x
3
+ 2x
4
= 9 ;
3x
1
+ x
2
+ 2x
3
– x
4
= 7 .
Для удобства обозначим уравнения буквами и будем выписывать
только коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.
Тогда исходная СЛАУ примет вид
A
1
1 1 1 -1 2
A
2
1 -1 -1 1 0
A
3
2 1 -1 2 9
A
4
3 1 2 -1 7
Исключая члены, содержащие
x
1
, получим
B
1
= A
1
/1 1 1 1 -1 2
B
2
= A
2
– B
1
0 -2 -2 2 -2
B
3
= A
3
– 2B
1
0 -1 -3 4 5
B
4
= A
4
– 3B
1
0 -2 -1 2 1
После исключения членов с
x
2
имеем
B
1
1 1 1 -1 2
C
2
= B
2
/(-2) 0 1 1 -1 1
C
3
= B
3
+ C
2
0 0 -2 3 6
C
4
= B
4
+ 2C
2
0 0 1 0 3
Исключения членов с
x
3
дает
В
1
1 1 1 -1 2
С
2
0 1 1 -1 1
D
3
= C
3
/(-2) 0 0 1 -3/2 -3
D
4
= C
4
– D
3
0 0 0 3/2 6
Продолжая аналогичные действия с последним рядом, получим
64

Страницы