ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приравнивая коэффициенты в обоих выражениях для x
1
,получаем
a
1
= – c
1
/b
1
, b
1
=d
1
/b
1
. (8.5)
Из второго уравнения системы (8.3) выразим x
2
через x
3
, заменяя
x
1
по формуле (8.4):
a
2
(a
1
x
2
+ b
1
) + b
2
x
2
+ c
2
x
3
= d
2
.
Отсюда найдем x
2
= (– c
2
x
3
+ d
2
– a
2
b
1
) / (a
2
a
1
+ b
2
),
или x
2
=a
2
x
3
+ b
2
;
a
2
= – c
2
/e
2
;
b
2
=(d
2
– a
2
b
1
)/e
2
;
e
2
=a
2
a
1
+b
2
.
Аналогично можно вычислить прогоночные коэффициенты для
любого номера
i:
a
i
= – c
i
/e
i
, b
i
=(d
i
– a
i
b
i-1
)/e
i
; (8.6)
e
i
= a
i
a
i-1
+ b
i
, i = 2, 3,..., n – 1 .
Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неиз-
вестных x
i
. Сначала нужно найти x
n
. Для этого воспользуемся выражени-
ем (8.4) при i = n – 1 и последним уравнением системы (8.3). Запишем их:
x
n-1
= a
n-1
x
n
+b
n-1
;
a
n
x
n-1
+b
n
x
n
= d
n
.
Отсюда, исключая x
n-1
, находим x
n
= (d
n
– a
n
b
n-1
)/(b
n
+a
n
a
n-1
).
Далее, используя формулы (8.4) и выражения для прогоночных
коэффициентов (8.5), (8.6), последовательно вычисляем все неизвестные
x
n-1
, x
n-2
, ..., x
1
.
8.4. Итерационные методы
Итерационные методы используют последовательные приближе-
ния (итерации, итерационные циклы), в процессе вычисления по кото-
рым образуется последовательность значений X
0
, X
1
,...,X
S
,..., сходящая-
ся к некоторому пределу X
P
, т. е.
lim X
S
=X
P
,
S→ ∞
где каждое последующее значение X
S
определяется через предыдущее
X
S -1
(S – номер итерации).
К таким методам относятся метод Якоби (метод простой итера-
ции, или метод одновременных смещений), метод Зейделя (Гаусса-
Зейделя, или метод последовательных смещений), метод верхней релак-
сации.
Итерации начинаются с задания начального приближенного ре-
шения X
0
, которое может быть получено из физических или других ра-
зумных соображений. Чем ближе исходное приближение X
0
к решению
68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
