Основы применения вычислительной техники и программирование. Беспалов В.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

X
P
, тем меньше итераций необходимо для его получения. Итерации про-
водятся до получения решения с требуемой точностью, которая не
должна превышать заданной погрешности вычислений E, т. е. итерации
заканчиваются при выполнении условия
|X
S
– X
S -1
|<=E
a
, (8.7)
или условия
|(X
S
– X
S -1
) / X
S
|<=E
о
, (8.8)
где E
a
– заданная абсолютная погрешность;
E
о
– заданная относительная погрешность.
Алгоритмы решения СЛАУ итерационными методами обычно бо-
лее сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений
заранее определить трудно, т. к. он зависит от степени близости началь-
ного приближения X
0
к «точному» значению X
P
, от величины E
a
или E
о
,
от скорости (условий) сходимости используемого алгоритма (чем
меньше конечное значение S при выполнении условий (8.7) или (8.8),
тем скорость больше).
Преимущества данных методов по сравнению с прямыми заклю-
чаются в следующем:
1. В ряде случаев удается хранить в памяти ЭВМ не всю матрицу
системы, а лишь несколько векторов (см. матрицы Т, К, Д).
2. Погрешности итерационных методов ограничены, (не увеличива-
ются), т. к. точность вычислений на итерации S определяется результатами
предыдущей итерации S – 1 и практически не зависит от результатов на
итерациях S – 2, S – 3, ... Это является достоинством итерационных мето-
дов, особенно полезным в случае большого числа уравнений, плохо обу-
словленных СЛАУ (когда малые погрешности вычислений или исходных
данных приводят к большим погрешностям в решении).
Для реализации итерационного метода исходную СЛАУ (8.1)
обычно приводят к виду :
x
1
= (b
1
– a
12
x
2
– a
13
x
3
–...– a
1n
x
n
) / a
11
;
x
2
= (b
2
– a
21
x
1
– a
23
x
3
–...– a
2n
x
n
) / a
22
;
(8.9)
…………………………………….
x
n
= (b
n
– a
n1
x
1
– a
n2
x
2
–...– a
n(n-1)
x
n-1
)/a
nn
.
8.5. Метод Зейделя
Этот метод является итерационным. На каждой итерации уточня-
ются значения переменных. Система сходится, если на главной диаго-
нали матрицы коэффициентов расположены максимальные элементы.
В противном случае необходимо провести эквивалентные преобразова-
ния (перестановка строк и др.).
Систему (8.9) приведём к виду
69

Страницы