ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
где
()()
ωω jKK
⋅
=
амплитудно-
частотная характеристика (АЧХ ),а
аргумент
(
)
ωϕ - фазо - частотная характеристика . Если на вход линейной цепи
действует сигнал произвольной формы со спектром
()()()
,exp
1
1
dttjtsjS ωω −=
∫
∞
∞−
⋅
то выходной сигнал
(
)
ts
2
определяется выражением
() ()()()
.exp
2
1
1
2
ωωωω
π
dtjjKjSts
∫
∞
∞−
⋅⋅
=
Для многих радиофизических цепей, так называемых узкополосных,
избирательных или резонансных, характерно, что АЧХ заметно отлична от нуля
только в полосе частот
c
ω∆ в окрестности некоторой частоты
0
ω , называемой
центральной или резонансной. При этом
.
0
ωω <<∆
c
(2)
Следовательно, АЧХ избирательной цепи
(
)
0≈ωK при .
0 c
ωωω ∆>>± (3)
Пусть на избирательную цепь, АЧХ которой удовлетворяет (2), (3)
воздействует узкополосный радиосигнал
(
)
(
)
(
)
[
]
.cos
1111
tttAts θω += (4)
Здесь огибающая
(
)
tA
1
и фаза
(
)
t
1
θ - медленно изменяющиеся функции по
сравнению с колебанием несущей частоты .cos
1
tω Сигнал (4) удобно
переписать в виде
()()()
,expRe
1
1
1
tjtAts ω
⋅
= где
()()()
[]
tjtAtA
11
1
exp θ=
⋅
- комплексная
огибающая. Обозначим
() ()()
∫
∞
∞−
⋅⋅
Ω−=Ω .exp
2
1
1
dttjtAA
s
(5)
При этом в силу узкополосности сигнала (4)
()
0≈Ω
⋅
s
A при ,
s
ω∆>>Ω (6)
а полоса частот
s
ω∆
сигнала (4) удовлетворяет условию
.
1
ωω <<∆
s
(7)
При воздействии узкополосного радиосигнала (4), обладающего свойствами (6),
(7) на узкополосную (избирательную) цепь, обладающую свойствами (2), (3),
выходной сигнал
(
)
ts
2
можно записать в виде
()()()
.expRe
1
2
2
tjtAts ω
⋅
= (8)
Здесь комплексная огибающая выходного сигнала может быть рассчитана по
формуле
() ()()
[]
()
,exp
1
0
2
ΩΩΩ+∆Ω≈
∫
∞
∞−
⋅⋅⋅
dtjjKAtA
cs
ω
π
(9)
где
()
[]
()
[]
,
000
Ω+∆+=Ω+∆
⋅
ωωω jKjK
c
(10)
3
⋅
гд е K (ω ) = K ( jω ) а мплитуд но - ч а сто тна я ха р а кте р истика (А ЧХ ),а
а р гуме нт ϕ (ω ) - фа з
о -ч а сто тна я ха р а кте р истика . Е сли на в хо д лине йно й ц е пи
д е йств уе тсигна л пр о из в о льно й фо р мы со спе ктр о м
⋅ ∞
S 1 ( jω ) = ∫ s (t ) exp(− jω t )dt ,
1
−∞
то в ыхо д но й сигна л s2 (t ) о пр е д е ляе тся в ыр а ж е ние м
∞ ⋅ ⋅
s2 (t ) = ∫ S ( jω ) K ( jω ) exp( jω t ) dω .
1
1
2π −∞
Для мно гих р а д ио физ ич е ских ц е пе й, та к на з ыв а е мых уз ко по ло сных,
из бир а те льных или р е з о на нсных, ха р а кте р но , ч то А ЧХ з а ме тно о тлич на о тнуля
то лько в по ло се ч а сто т ∆ω c в о кр е стно сти не ко то р о й ч а сто ты ω 0 , на з ыв а е мо й
ц е нтр а льно й или р е з о на нсно й. П р и это м
∆ω c << ω 0 . (2)
С ле д о в а те льно , А ЧХ из бир а те льно й ц е пи
K (ω ) ≈ 0 пр и ω 0 ± ω >> ∆ω c . (3)
П усть на из бир а те льную ц е пь, А ЧХ ко то р о й уд о в ле тв о р яе т (2), (3)
в оз д е йств уе туз ко по ло сный р а д ио сигна л
s1 (t ) = A1 (t ) cos[ω 1t + θ 1(t )]. (4)
З д е сь о гиба юща я A1 (t ) и фа з а θ 1(t ) - ме д ле нно из ме няющие ся функц ии по
ср а в не нию с ко ле ба ние м не суще й ч а сто ты cos ω 1t . С игна л (4) уд о бно
⋅ ⋅
пе р е писа ть в в ид е s1 (t ) = Re A1 (t ) exp ( jω 1t ) , гд е A1 (t ) = A1 (t ) exp[ jθ 1(t )] - ко мпле ксна я
о гиба юща я. О бо з на ч им
⋅ ∞
1 ⋅
As (Ω ) = A1 (t ) exp (− jΩt )dt .
2 −∫∞
(5)
П р и это м в силу уз
ко по ло сно сти сигна ла (4)
⋅
As (Ω ) ≈ 0 пр и Ω >> ∆ω s , (6)
а по ло са ч а сто т ∆ω s сигна ла (4) уд о в ле тв о р яе тусло в ию
∆ω s << ω 1. (7)
П р и в оз
д е йств ии узко по ло сно го р а д ио сигна ла (4), о бла д а юще го св о йств а ми (6),
(7) на уз ко по ло сную (из бир а те льную) ц е пь, о бла д а ющую св о йств а ми (2), (3),
в ыхо д но й сигна л s2 (t ) мо ж но за писа ть в в ид е
⋅
s2 (t ) = Re A2 (t ) exp ( jω 1t ).(8)
З д е сь ко мпле ксна я о гиба юща я в ыхо д но го сигна ла мо ж е т быть р а ссч ита на по
фо р муле
⋅ ∞ ⋅ ⋅
A2 (t ) ≈ ∫ A s (Ω) K c [ j(∆ω 0 + Ω)]exp( jΩt )dΩ ,
1
(9)
π −∞
гд е
⋅
K c [ j (∆ω 0 + Ω )] = K [ j (ω 0 + ∆ω 0 + Ω )] , (10)
