Составители:
Рубрика:
x
n+1
=
λ
–x
n
2
. (П2.2)
Уравнения (П2.1), (П2.2) изучались и математиками как про-
стейшие примеры динамических систем с нетривиальным пове-
дением.
Поведение рекуррентного уравнения (П2.2) (вид бесконеч-
ной последовательности x
n
) определяется величинами
λ
и на-
чальным значением x
0
. При малых
λ
(<0.75) последовательность x
n
сходится к предельному значению, не зависящему от x
0
, но зави-
сящему от
λ
. В области 0.75<
λ
<1.401 устанавливается режим ко-
лебаний с периодом 2,4,16.... шагов итераций. Аналитически
находятся два первых значения параметра, при которых удваива-
ется период:
λ
1
=0.75;
λ
2
=1.25. Другие значения
λ
, соответствую-
щие удвоениям периода и критическая точка (в которой период
становится равным бесконечности), находятся численно:
1.368099, 1.394046, 1.399637,…, 1.401155.
Всплеск интереса к разностному уравнению (П2.2) произо-
шел в 1978 г., после того, как американский ученый М. Фейген-
баум установил с его помощью наличие универсальных
закономерностей перехода к хаосу через последовательность би-
фуркаций удвоения периода [8]. Фейгенбаум показал, что эти за-
кономерности присущи всем отображениям вида x
n+1
=f ( x
n
), в
которых функция f ( x
n
) на интервале рассмотрения имеет единст-
венный квадратичный максимум, а качественное поведение при
переходе к хаосу описывается универсальными константами (на-
зываемых константами Фейгенбаума
α
и
δ
) [4,8].
Помимо Фейгенбаума, исследованием одномерных отобра-
жений занимались и российские ученые. Так, Шарковский [3] по-
казал, что гладкие унимодальные отображения обладают
фундаментальным свойством, выражающимся в существовании
ряда решений, последовательно сменяющих друг друга при из-
менении управляющего параметра:
3→5→7→9…2⋅3→2⋅5→2⋅7→2⋅9…→2
2
⋅3→2
2
⋅5→2
2
⋅7…→2
3
→2
2
→
2→1, где цифры соответствуют периоду решения в единицах ша-
га итерации.
17
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
