Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
134
3.7.4. Дифференциальные уравнения в частных производных
Это, пожалуй, самый хорошо изученный и исторически ранний вид
математического аппарата, развитый специально для моделирования
пространственно развитых систем. Дифференциальные уравнения в
частных производных используются в самых различных научных
дисциплинах: от физики, химии и биологии до экологии и экономики.
Достаточно вспомнить великие уравнения Максвелла в электродинамике
[86], уравнение Шредингера в квантовой механике, уравнения типа
реакция – диффузия в химии и биологии, уравнение Гинзбурга – Ландау
(повсеместно). Форму ДУЧП имеют многие классические модели теории
волн, например:
уравнение простой волны
0)(
=
∂
∂
+
∂
∂
zxxvtx , где x –
характеризующая величина, v – скорость распространения возмущения, в
общем случае зависящая от его величины, z – пространственная
координата, эта модель может описывать «укручение» и опрокидывание
профиля волны;
уравнение Кортевега – де Вриза
0)(
33
=∂∂+∂∂+∂∂ zxzxxvtx
β
,
наиболее простая модель, имеющая решения солитонного типа (грубо
говоря, это локализованные возмущения, распространяющиеся с
постоянной скоростью без изменения формы и сохраняющие эти
характеристики после столкновения друг с другом);
уравнение Бюргерса
0)(
22
=∂∂−∂∂+∂∂ zxzxxvtx
α
, простейшая
модель, описывающая волны в системах с диссипацией, в частности,
ударные волны (движение области резкого перепада значений x).
Система, описывающаяся даже уравнением в частных производных
первого порядка с одной пространственной координатой (как в
вышеупомянутых примерах), является бесконечномерной. Для задания ее
состояния нужно задать начальную функцию
),0( z
x
. Если рассматривается
система без пространственных границ (эта идеализация удобна, если
система очень протяженная, а явления у ее границ слабо влияют на
динамику и не интересуют исследователя), то эта функция должна быть
определена на всей числовой оси
∞
<
<
∞
−
z
. Если же пространственная
протяженность системы ограничена, то начальная функция должна быть
задана только на соответствующем промежутке
L
z
<
<
0
, а в краевых
точках задаются те или иные краевые условия, например, фиксированные
концы –
0),()0,( == L
t
x
t
x
. В последнем случае говорят о краевой задаче.
ДУЧП могут иметь аттракторы в виде неподвижных точек (состояния
равновесия) и предельных циклов и прочих видов маломерной динамики,
но могут демонстрировать и очень высокоразмерную динамику (система
бесконечномерна). Этот вид математического аппарата еще более богат
свойствами и сложен для исследования, чем все ранее рассмотренные в
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
