Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
133
3.7.3. Дифференциальные уравнения с запаздыванием
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом обычно
используются для моделирования систем, поведение которых определяется
не только текущим состоянием, но и значениями переменных в
предыдущие моменты времени. Такие объекты широко представлены в
природе, они изучаются в физике, биологии, физиологии, химии. Причины
запаздывания могут быть различными. Так, в динамике популяций оно
связано с тем, что особи участвуют в репродукции лишь после периода
взросления, а в пространственно развитых радиофизических системах оно
обусловлено конечной скоростью распространения сигнала, здесь время
запаздывания
τ
связано с временем, требуемым на преодоление
расстояния между элементами. В достаточно общем случае системы с
запаздыванием описываются уравнением
))(),...,(),((...)()(
11
)1(
1
)(
k
n
n
n
n
txtxtxFxtxtx
ττεεε
−−=+++
−
−
&
, (3.40)
где
k
τ
τ
,...,
1
учитывают возможность существования нескольких причин
запаздывания с разными характерными масштабами. Частными случаями
уравнения (3.40) являются следующие эталонные модели. Уравнение
Икеды, описывающее динамику пассивного оптического резонатора,
))(sin()()(
0
xtxtxtx
−
−⋅+−=
τ
µ
&
; уравнение Маккея – Гласса,
описывающее процесс выработки красных кровяных клеток в живых
организмах, ))(1/()()()(
ττ
−+−⋅+⋅−= txtxatxbtx
c
&
; уравнение
генератора с запаздывающей обратной связью, очень популярного в
радиофизике,
13
))(()()(
τ
ε
−
+
−=⋅
t
x
f
t
x
t
x
&
.
Несмотря на единственную скалярную динамическую переменную,
все представленные динамические системы являются бесконечномерными,
т.к. при задании начальных условий необходимо указать распределение
динамической переменной на временном отрезке [0,
τ
]. Даже ДУЗ первого
порядка могут демонстрировать сложные движения, которым в фазовом
пространстве соответствуют аттракторы очень высокой размерности, хаос,
мультистабильность и прочие нелинейные феномены. Для более
основательного знакомства с возможностями моделей в виде ДУЗ см.
критический обзор работ по сложной динамике генератора с
запаздывающей обратной связью [106], монографию [76], статьи [90] и
сайт [343].
13
Генератор представляет собой замкнутые в кольцо нелинейный усилитель (его
характеризует функция
f), инерционный элемент (фильтр, инерционность
характеризуется параметром
ε
) и линия задержки (
τ
– время задержки).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- …
- следующая ›
- последняя »
