Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ
0
(n)
p
i,j
= P (µ
0
(n + 1) = j|µ
0
(n) = i).
p
i,j
= 0, j < i − 1,
p
i,j
= 1/N, j = i − 1.
p
i,j
= (N − i)/N, j = i.
p
i,j
= 0, j > i.
t → ∞ t
t = 0
(t = 0, 1, 2, ...)?
P =
1
4
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
, qP = q → q =
1
6
(1, 1, 1, 1, 1, 1).
P = (p
ij
)
ξ
t
p
11
= 1 − α, p
12
= α, p
21
= β,
p
22
= 1 − β.
·
p
11
(t) p
12
(t)
p
21
(t) p
22
(t)
¸
=
1
α + β
·
β α
β α
¸
+
(1 − α − β)
t
α + β
·
α −α
−β β
¸
.
1) P (1) =
1
α + β
·
β α
β α
¸
+
1 − α − β
α + β
·
−α α
β −β
¸
,
    Ðåøåíèå. ßâëÿåòñÿ, òàê êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà µ0 (n) îïèñûâà-
åò òîëüêî ÷èñëî ïóñòûõ ÿ÷ååê, íî íå èñòîðèþ çàïîëíåíèÿ ýòèõ ÿ÷ååê.
Ïóñòü pi,j = P (µ0 (n + 1) = j|µ0 (n) = i).
    pi,j = 0, åñëè j < i − 1, òàê êàê ïðè äîáàâëåíèè îäíîé ÷àñòèöû
÷èñëî ïóñòûõ ÿ÷ååê ìîæåò óìåíüøèòüñÿ òîëüêî íà åäèíèöó.
    pi,j = 1/N, åñëè j = i − 1. ×àñòèöà ïîïàëà â ïóñòóþ ÿ÷åéêó.
    pi,j = (N − i)/N, åñëè j = i. ×àñòèöà ïîïàëà â çàíÿòóþ ÿ÷åéêó.
    pi,j = 0, åñëè j > i. Ïðè ïîÿâëåíèè íîâîé ÷àñòèöû ÷èñëî ïóñòûõ
ÿ÷ååê íå óâåëè÷èâàåòñÿ .
    Çàäà÷à 8.8. Èãðàëüíàÿ êîñòü âñå âðåìÿ ïåðåêëàäûâàåòñÿ ñëó-
÷àéíûõ îáðàçîì ñ îäíîé ãðàíè ðàâíîâåðîÿòíî íà ëþáóþ èç ÷åòû-
ðåõ ñîñåäíèõ ãðàíåé íåçàâèñèìî îò ïðåäûäóùåãî. Ê êàêîìó ïðåäåëó
ñòðåìèòñÿ ïðè t → ∞ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t êîñòü
ëåæèò íà ãðàíè 6, åñëè â ìîìåíò t = 0 îíà íàõîäèëàñü â ýòîì æå
ïîëîæåíèè (t = 0, 1, 2, ...)?
    Ðåøåíèå. Ïîïàðíî ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè îáîçíà÷èì ÷èñëàìè
1, 2; 3,4; 5,6, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü íîìåðàìè ñîñòîÿíèé. Òîãäà
                                
                0 0 1 1 1 1
              0 0 1 1 1 1 
                                
           1  1 1 0 0 1 1      , qP = q → q = 1 (1, 1, 1, 1, 1, 1).
     P = 
           4 1 1 0 0 1 1                       6
              1 1 1 1 0 0 
                1 1 1 1 0 0

    Çàäà÷à 8.11. Ìàòðèöà âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà P = (pij ) öåïè
Ìàðêîâà ξt îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè p11 = 1 − α, p12 = α, p21 = β,
p22 = 1 − β. Äîêàçàòü, ÷òî
  ·                  ¸      ·     ¸                ·        ¸
     p11 (t) p12 (t)      1   β α     (1 − α − β)t    α −α
                       =            +                         .
     p21 (t) p22 (t)     α+β β α         α+β         −β  β

Íàéòè ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè.
   Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿåì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè:
                      ·      ¸            ·       ¸
                   1    β α      1 − α − β −α   α
       1) P (1) =              +                    ,
                  α+β β α          α+β      β −β

                                 110

Страницы