Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

q
∗
k
= C
k
N
C
N−k
N
/C
N
2N
, k = 1, ..., N.
τ
t
t.
lim
t→∞
P
µ
¯
¯
¯
¯
τ
t
t
−
β
β + α
¯
¯
¯
¯
< ²
= 1 ² > 0.
ξ
t
,
t = 0, 1, 2, ...
t ∈ [0, T ]
ω ξ
t
(ω) t
ξ
t
∀t
1
< t
2
< ··· < t
n
ξ
t
1
, ξ
t
2
− ξ
t
1
, ..., ξ
t
n
− ξ
t
n−1
ξ
t
ξ
t
∀s, t
1
, t
2
ξ
t
2
− ξ
t
1
, ξ
t
2
+s
− ξ
t
1
+s
ξ
0
= 0;
h → 0
P (ξ
h
= 0) = 1 − λh + o(h),
P (ξ
h
= 1) = λh + o(h),
P (ξ
h
≥ 2) = o(h).
                                                        Îòâåò: ÿâëÿåòñÿ.
    Çàäà÷à 8.9. Ïî äâóì óðíàì ðàçëîæåíî N ÷åðíûõ è N áåëûõ øà-
ðîâ òàê, ÷òî êàæäàÿ óðíà ñîäåðæèò N øàðîâ. ×èñëî ÷åðíûõ øàðîâ â
ïåðâîé óðíå îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Â êàæäûé ìîìåíò âðå-
ìåíè âûáèðàþò ñëó÷àéíî ïî îäíîìó øàðó èç óðí è âûáðàííûå øàðû
ìåíÿþò ìåñòàìè. Íàéòè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà è ïîêàçàòü, ÷òî ñòà-
öèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè qk∗ = CN k C N −k /C N , k = 1, ..., N.
                                  N       2N
    Çàäà÷à 8.12. Äëÿ öåïè Ìàðêîâà, îïðåäåëåííîé â çàäà÷å 8.11,
îáîçíà÷èì τt ÷èñëî ïîïàäàíèé â ñîñòîÿíèå 1 çà âðåìÿ t. Äîêàçàòü,
÷òî              µ¯          ¯     ¶
                   ¯ τt   β  ¯
            lim P ¯¯ −       ¯ < ² = 1 ïðè ëþáîì ² > 0.
           t→∞       t  β + α¯

4.2 Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû
Îïðåäåëåíèå. Ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Ñëó-
÷àéíûì ïðîöåññîì íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξt ,
ãäå t = 0, 1, 2, ... (ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì) èëè
t ∈ [0, T ] (ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì). Ïðè ôèê-
ñèðîâàííîì ω ξt (ω) êàê ôóíêöèÿ îò t íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðèåé ïðî-
öåññà. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξt íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ñ íåçàâèñèìûìè
ïðèðàùåíèÿìè, åñëè äëÿ ∀t1 < t2 < · · · < tn ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
ξt1 , ξt2 − ξt1 , ..., ξtn − ξtn−1 íåçàâèñèìû.

4.2.1 Ïóàññîíîâñêèé è âèíåðîâñêèé ïðîöåññû
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξt ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì íàçûâàåòñÿ ïóàññî-
íîâñêèì, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
   1) ξt  ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè;
   2) äëÿ ∀s, t1 , t2 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξt2 − ξt1 , ξt2 +s − ξt1 +s îäèíà-
êîâî ðàñïðåäåëåíû (îäíîðîäíîñòü);
   3) ξ0 = 0;
   4) ïðè h → 0 èìååò ìåñòî
                      
                       P (ξh = 0) = 1 − λh + o(h),
                         P (ξh = 1) = λh + o(h),
                      
                         P (ξh ≥ 2) = o(h).

                                   112

Страницы