Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
ϕ
ξ
(x) = Mx
ξ
. P (ξ = k) =
λ
k
k!
e
−λ
ϕ
ξ
(x) =
∞
X
k=0
x
k
λ
k
k!
e
−λ
=
∞
X
k=0
(xλ)
k
k!
e
−λ
= e
λ(x−1)
.
ϕ
t
(x) = Mx
ξ
t
. ϕ
0
= 1.
ϕ
t+h
(x) = Mx
ξ
t+h
= Mx
ξ
t
+(ξ
t+h
−ξ
t
)
= Mx
ξ
t
Mx
ξ
t+h
−ξ
t
= ϕ
t
Mx
ξ
h
=
= ϕ
t
(x
0
(1 − λh + o(h)) + x
1
(λh + o(h)) + ···) =
= ϕ
t
(1 + λh(x − 1) + o(h)).
ϕ
t+h
− ϕ
t
h
= ϕ
t
λ(x − 1) +
o(h)
h
,
∂
∂t
(ϕ
t
) = λ(x − 1)ϕ
t
. ϕ
t
(x) =
Ce
λ(x−1)t
, = 1, ϕ
0
= 1. P (ξ
t
= k) =
(λt)
k
k!
e
−λt
, ξ
t
λt.
ξ
t+h
− ξ
t
,
ξ
h
− ξ
0
= ξ
h
, ξ
t+h
ξ
t
+ξ
h
, ξ
h
ξ
t
(ω) t
ξ
t
(ω)
[0, t].
Θ
k
= Θ
k
(ω) k
τ
k
= Θ
k
−Θ
k−1
τ
1
, τ
2
, ..., τ
n
n
λ.
Ïðè ðàáîòå ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ξ ñ öåëî÷èñëåííûìè íåîò-
ðèöàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè ïîëåçíà òàê íàçûâàåìàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ
ôóíêöèÿ ϕξ (x) = M xξ . Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ P (ξ = k) =
λk −λ
k! e  èìååì
                      ∞
                      X                 ∞
                                 λk −λ X (xλ)k −λ
           ϕξ (x) =         xk      e =       e = eλ(x−1) .
                                 k!        k!
                      k=0               k=0

Ïóñòü ϕt (x) = M xξt . Î÷åâèäíî, ÷òî ϕ0 = 1. Äàëåå èìååì

 ϕt+h (x) = M xξt+h = M xξt +(ξt+h −ξt ) = M xξt M xξt+h −ξt = ϕt M xξh =

           = ϕt (x0 (1 − λh + o(h)) + x1 (λh + o(h)) + · · · ) =
                       = ϕt (1 + λh(x − 1) + o(h)).
Îòñþäà
                      ϕt+h − ϕt                 o(h)
                                = ϕt λ(x − 1) +      ,
                          h                      h
             ∂
ïîýòîìó ∂t     (ϕt ) = λ(x − 1)ϕt . Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì ϕt (x) =
Ce  λ(x−1)t , ãäå = 1, òàê êàê ϕ0 = 1. Òàêèì îáðàçîì P (ξt = k) =
(λt)k −λt
  k! e    , òî åñòü ξt ïîä÷èíåíà ðàñïðåäåëåíèþ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì
λt.
     Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξt+h − ξt , êîòîðàÿ ââèäó îäíî-
ðîäíîñòè ïðîöåññà ðàñïðåäåëåíà êàê ξh − ξ0 = ξh , ïîýòîìó ξt+h ðàñ-
ïðåäåëåíà êàê ξt +ξh , ó ξh íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå 0, ñëåäóþùåå
ïî âåðîÿòíîñòè çíà÷åíèå 1. Çíà÷èò, ξt (ω) ñ ðîñòîì t ìîæåò óâåëè÷èòü-
ñÿ, óâåëè÷èòüñÿ ëèøü íà 1, òî åñòü òåðïåòü ñêà÷îê. Ïîýòîìó ξt (ω) åñòü
÷èñëî ñêà÷êîâ òðàåêòîðèè çà âðåìÿ [0, t]. Ââåäåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷è-
íó Θk = Θk (ω)  ìîìåíò k  ãî ñêà÷êà òðàåêòîðèè ïðîöåññà. Òîãäà
τk = Θk − Θk−1  ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íûìè ñêà÷êàìè.
     Òåîðåìà. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû τ1 , τ2 , ..., τn ïðè ëþáûõ n íåçàâè-
ñèìû, êàæäàÿ èç íèõ èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðà-
ìåòðîì λ.



                                      113

Страницы