Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
∂
n−1
∂s
2
···∂s
n
s
2
+s
1
Z
−∞
du
2
···
s
n
+u
n−1
Z
−∞
du
n
λ
n
e
−λu
n
=
= λ
n
e
−λ(s
1
+···+s
n
)
=
n
Y
k=1
p
τ
k
(s
k
),
p
τ
k
(s
k
) = λe
−λs
k
ξ
0
= 0,
τ
1
.
ξ
Θ
1
= 1 (Θ
1
= τ
1
),
τ
2
,
ξ
Θ
2
= 2 (Θ
2
= τ
1
+ τ
2
) T
0
−
e
−λT
0
=
1
2
, λ = ln 2/T
0
.
ξ
t
ξ
t
ξ
t
ξ
0
= 0
h → 0
Mξ
h
= ah + o(h),
Mξ
2
h
= bh + o(h),
Mξ
3
h
= o(h).
ξ
t
(at, bt).
ξ
k
(t)
                             sZ
                              2 +s1           sn +u
                                                 Z n−1
               ∂ n−1
           =                      du2 · · ·            dun λn e−λun =
             ∂s2 · · · ∂sn
                             −∞                −∞
                                                n
                                                Y
                    = λn e−λ(s1 +···+sn ) =           pτk (sk ),
                                                k=1

ãäå pτk (sk ) = λe−λsk . Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Èíòåðïðåòàöèÿ ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ ìî-
äåëè ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. Êàê èçâåñòíî, àòîì ðàäèÿ ìîæåò
ñàìîïðîèçâîëüíî ðàñïàñòüñÿ íà àòîì ðàäîíà è àëüôà- ÷àñòèöó. Ïóñòü
èìååòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî àòîìîâ ðàäèÿ.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ñè-
ñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ξ0 = 0, â êîòîðîì íåò àëüôà-÷àñòèö. Â
ýòîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ñëó÷àéíîå âðåìÿ τ1 . Çàòåì ïðîèñ-
õîäèò îäèí ðàñïàä, ñèñòåìà ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå ξΘ1 = 1 (Θ1 = τ1 ),
â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ñëó÷àéíîå âðåìÿ τ2 , çàòåì ïåðåõîäèò â ñîñòîÿ-
íèå ξΘ2 = 2 (Θ2 = τ1 + τ2 ) è ò.ä. Åñëè T0 − ïåðèîä ïîëóðàñïàäà, ò.å.
e−λT0 = 21 , òî λ = ln 2/T0 .
   Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Ïî îïðåäåëåíèþ, ξt åñòü âèíåðîâñêèé
ïðîöåññ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
   1) ξt åñòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè;
   2) ξt åñòü îäíîðîäíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ;
   3) ξ0 = 0;
   4) ïðè h → 0 èìååò ìåñòî
                          
                           M ξh = ah + o(h),
                              M ξh2 = bh + o(h),
                          
                              M ξh3 = o(h).

Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, ìîæíî ïîêàçàòü, íî
óæå ïðèìåíÿÿ àïïàðàò õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ÷òî ξt ïîä÷è-
íÿåòñÿ íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàìåòðàìè (at, bt).

4.2.2 Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì
Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí ξk (t) ñ öåëî÷èñëåííûìè çíà÷åíèÿìè, äëÿ êîòîðûõ

                                      115

Страницы