Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
t
∀ n, t
1
<
t
2
< ··· < t
n
< t
n+1
, ξ
t
1
∈ B
1
, ..., ξ
t
n−1
∈ B
n−1
,
ξ
t
n
= x
P (ξ
t
n+1
∈ B
n+1
|ξ
t
1
∈ B
1
, ..., ξ
t
n−1
∈ B
n−1
, ξ
t
n
= x) =
= P (ξ
t
n+1
∈ B
n+1
|ξ
t
n
= x).
ξ
t
h → 0
P (ξ
t+h
= k + 1|ξ
t
= k) = λ
k
h + o(h),
P (ξ
t+h
= k − 1|ξ
t
= k) = µ
k
h + o(h),
P (ξ
t+h
= k|ξ
t
= k) = 1 − (λ
k
+ µ
k
)h + o(h),
λ
0
, λ
k
, µ
k
> 0 (k > 0),
µ
k
= 0 (k ≤ 0). P
k
(t) = P (ξ
t
= k). k > 0
P
k
(t + h) = P (ξ
t+k
= k) =
∞
X
l=0
P (ξ
t
= l)P (ξ
t+h
= k|ξ
t
= l) =
P
k+1
(t)µ
k+1
h + P
k
(t)(1 − (λ
k
+ µ
k
)h) + P
k−1
(t)λ
k−1
h + o(h),
P
0
k
= λ
k−1
P
k−1
−(λ
k
+ µ
k
)P
k
+ µ
k+1
P
k+1
, k > 0 P
0
0
= −λP
0
+ µ
1
P
1
.
µ
k
= 0,
P
0
k
= λ
k−1
P
k−1
− λ
k
P k, k > 0,
P
0
0
= −λ
0
P
0
.
λ
4.2.3 Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Ïðîöåññ ãèáåëè è ðàçìíîæåíèÿ
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξt íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèì, åñëè äëÿ ∀ n, t1 <
t2 < · · · < tn < tn+1 , äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé ξt1 ∈ B1 , ..., ξtn−1 ∈ Bn−1 ,
ξtn = x âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

         P (ξtn+1 ∈ Bn+1 |ξt1 ∈ B1 , ..., ξtn−1 ∈ Bn−1 , ξtn = x) =

                      = P (ξtn+1 ∈ Bn+1 |ξtn = x).
Òî åñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â áóäóùåì ïðè çàäàííîì íàñòîÿùåì íå
çàâèñèò îò ïðîøëîãî. Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ξt íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì
ãèáåëè è ðàçìíîæåíèÿ, åñëè ïðè h → 0 èìååò ìåñòî:

             P (ξt+h = k + 1|ξt = k) = λk h + o(h),
             P (ξt+h = k − 1|ξt = k) = µk h + o(h),
             P (ξt+h = k|ξt = k) = 1 − (λk + µk )h + o(h),

ãäå îòíîñèòåëüíî ïîñòîÿííûõ ïðåäïîëàãàåòñÿ λ0 , λk , µk > 0 (k > 0),
µk = 0 (k ≤ 0). Ââåäåì Pk (t) = P (ξt = k). Äëÿ k > 0 èìååì
                                   ∞
                                   X
     Pk (t + h) = P (ξt+k = k) =         P (ξt = l)P (ξt+h = k|ξt = l) =
                                   l=0

    Pk+1 (t)µk+1 h + Pk (t)(1 − (λk + µk )h) + Pk−1 (t)λk−1 h + o(h),
îòêóäà ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ:

Pk0 = λk−1 Pk−1 − (λk + µk )Pk + µk+1 Pk+1 , k > 0 è P00 = −λP0 + µ1 P1 .

Åñëè âñå µk = 0, òî ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ÷èñòîãî ðàçìíî-
æåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èìååò
âèä:
                  Pk0 = λk−1 Pk−1 − λk P k, k > 0,
                  P00 = −λ0 P0 .
   Åñëè âñå λ â ïðîöåññå ÷èñòîãî ðàçìíîæåíèÿ îäèíàêîâû, òî ýòîò
ïðîöåññ åñòü ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ.



                                    117

Страницы