Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
k
(t) = P (ξ
t
= k), k = 0, 1, ..., n,
P
0
0
= −λP
0
+ µP
1
,
P
0
k
= λP
k−1
− (λ + kµ)P
k
+ (k + 1)µP
k+1
, 1 ≤ k ≤ n − 1,
P
0
n
= λP
k−1
− nµP
n
.
P
0
k
= 0.
n
P
k=0
P
k
=
1.
P
1
=
λ
µ
P
0
= ΘP
0
,
2µP
2
− (λ + µ)P
1
+ λ
0
= 0
P
2
=
(1 + Θ)Θ − Θ
2
P
0
=
Θ
2
2!
P
0
.
P
k
=
Θ
k
k!
P
0
.
P
0
=
µ
n
X
k=0
Θ
k
k!
−1
.
P
n
h µh + o(h),
λh + o(h)
1 −(λ + µ)h + o(h). ξ
t
t.
P (ξ
t+h
= k + 1|ξ
t
= k) = λkh + o(h),
P (ξ
t+h
= k − 1|ξ
t
= k) = µkh + o(h),
P (ξ
t+h
= k|ξ
t
= k) = 1 − (λ + µ)kh + o(h).
Ñíîâà ââåäåì îáîçíà÷åíèå: Pk (t) = P (ξt = k), k = 0, 1, ..., n, òîãäà
ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ:
         P00 = −λP0 + µP1 ,
         Pk0 = λPk−1 − (λ + kµ)Pk + (k + 1)µPk+1 , 1 ≤ k ≤ n − 1,
         Pn0 = λPk−1 − nµPn .
                                                               P
                                                               n
Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå. Ïóñòü Pk0 = 0. Êðîìå òîãî, èìååì               Pk =
                                                               k=0
1. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïðåäûäóùåé ñèñòåìû íàõîäèì
                                    λ
                             P1 =     P0 = ΘP0 ,
                                    µ
èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ 2µP2 − (λ + µ)P1 + λ0 = 0:
                            (1 + Θ)Θ − Θ      Θ2
                     P2 =                P0 =    P0 .
                                  2           2!
È ò.ä.
                              Θk
                               Pk =
                                  P0 .
                               k!
Ñóììà âñåõ âåðîÿòíîñòåé äîëæíà áûòü ðàâíà åäèíèöå, ïîýòîìó
                            µX
                             n      ¶
                                Θk −1
                       P0 =            .
                                 k!
                                    k=0

Pn  âåðîÿòíîñòü ïîòåðè òðåáîâàíèÿ.

4.2.5 Âåòâÿùèéñÿ ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì
Ïóñòü êàæäàÿ ÷àñòèöà íåçàâèñèìî îò ñâîåãî ïðîøëîãî è îò ïîâåäå-
íèÿ äðóãèõ ÷àñòèö çà âðåìÿ h: ïîãèáàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ µh + o(h),
äåëèòñÿ íà äâå ÷àñòèöû ñ âåðîÿòíîñòüþ λh + o(h) , íå èçìåíÿåòñÿ ñ
âåðîÿòíîñòüþ 1 − (λ + µ)h + o(h). Ïóñòü ξt  ÷èñëî ÷àñòèö â ìîìåíò
t. Òîãäà èìååì ñëåäóþùèå âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà:
                P (ξt+h = k + 1|ξt = k) = λkh + o(h),
                P (ξt+h = k − 1|ξt = k) = µkh + o(h),
                P (ξt+h = k|ξt = k) = 1 − (λ + µ)kh + o(h).

                                     119

Страницы