Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
µ (µ > 0)
λ.
ξ
t
t.
0, 1, ..., n. P (ξ
t+h
= k|ξ
t
= k),
h
P (ξ
t+h
= k|ξ
t
= k) =
µ
1 −
h
Z
0
µe
−µx
dx
k
µ
1 −
h
Z
0
λe
−λx
dx
=
= (1 − µh + o(x))
k
(1 − λh + o(x)) = 1 − (kµ + λ)h + o(x).
P (ξ
t+h
= k + 1|/ξ
t
= k) =
µ
1 −
h
Z
0
µe
−µx
dx
k
(λh + o(x)) = λh + o(x).
P (ξ
t+h
= k − 1|ξ
t
= k) = C
1
k
µh(1 − µh)
k−1
µ
1 −
h
Z
0
λe
−λx
dx
=
= kµh + o(h).
4.2.4 Ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîòåðÿìè
Èìååòñÿ n îáñëóæèâàþùèõ óñòðîéñòâ. Îòäåëüíîå óñòðîéñòâî îáðàáà-
òûâàåò ïîñòóïèâøåå òðåáîâàíèå çà ñëó÷àéíîå âðåìÿ, ïîä÷èíÿþùååñÿ
ïîêàçàòåëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàìåòðîì µ (µ > 0), ýòî âðåìÿ
íå çàâèñèò îò ðàáîòû äðóãèõ óñòðîéñòâ, îò ïîñòóïàþùèõ íîâûõ òðå-
áîâàíèé. Ïóñòü òðåáîâàíèÿ, ïîñòóïàþùèå íà ïóíêò îáñëóæèâàþùèõ
óñòðîéñòâ, îáðàçóþò ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì λ. Åñëè
âñå óñòðîéñòâà çàíÿòû, òî âíîâü ïîñòóïàþùåå òðåáîâàíèå òåðÿåòñÿ.
Ïóñòü ξt  ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå â ìîìåíò t. Âîçìîæíûå çíà-
÷åíèÿ 0, 1, ..., n. Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòü P (ξt+h = k|ξt = k), êîòîðàÿ
â ïðîñòåéøåé èíòåðïðåòàöèè îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íè îä-
íî óñòðîéñòâî íå çàêîí÷èëî îáðàáîòêó òðåáîâàíèé çà âðåìÿ h è íå
ïîñòóïèëî íè îäíî íîâîå òðåáîâàíèå. Ïîýòîìó

                           µ   Zh       ¶k µ   Zh       ¶
                                  −µx             −λx
    P (ξt+h   = k|ξt = k) = 1 − µe    dx    1 − λe    dx =
                                 0                       0

      = (1 − µh + o(x))k (1 − λh + o(x)) = 1 − (kµ + λ)h + o(x).
Ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïîñòóïèëî îäíî íîâîå òðåáîâàíèå è
íè îäíî îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî íå çàêîí÷èëî ðàáîòó, áóäåò õà-
ðàêòåðèçîâàòüñÿ âåðîÿòíîñòüþ ïåðåõîäà

                            µ   Zh       ¶k
                                   −µx
P (ξt+h   = k + 1|/ξt = k) = 1 − µe    dx (λh + o(x)) = λh + o(x).
                                  0

Íàêîíåö, åñëè îäíî óñòðîéñòâî âûïîëíèëî òðåáîâàíèå è ïîñòóïëåíèÿ
íîâûõ òðåáîâàíèé íå áûëî, òî íóæíî ââîäèòü âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà

                                                      µ   Zh       ¶
   P (ξt+h = k − 1|ξt = k) =   Ck1 µh(1         k−1
                                            − µh)      1 − λe−λx
                                                                 dx =
                                                          0

                            = kµh + o(h).


                                      118

Страницы