Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F (0, x) = x
F =
(
1 +
(µ−λ)(x−1)e
(λ−µ)t
(µ−λ)+(x−1)(λe
(λ−µ)t
−1)
, µ 6= λ
1 +
x−1
1+λ(1−x)t
, µ = λ
.
F (t, x) = M(x
µ
t
|µ
0
= 1),
F
0
x
¯
¯
¯
¯
x=1
= M(µ
t
x
µ
t
|µ
0
= 1)
¯
¯
¯
¯
x=1
= M(µ
t
|µ
0
= 1) = e
(λ−µ)t
.
ξ
t
m
k
= M(τ|ξ
0
= k), 0 ≤ k ≤ n, τ
n.
k
k k + 1 (k − 1).
m
k
.
ζ
k
k. (ζ
k
> x) −
k (0, x). P(ζ
k
> x + h|ζ
k
> ) =
1 − h(µ
k
+ λ
k
) + ··· . G(x) = P (ζ
k
> x).
G(x + h) = (ζ
k
> x + h) = P (ζ
k
> x) · P (ζ
k
> x + h|ζ
k
> x) =
= G(x) · (1 − h(µ
k
+ λ
k
) + ···). G
0
= −(µ
k
+ λ
k
) · G, G − e
−(µ
k
+λ
k
)x
.
F
ζ
k
(x) = P (ζ
k
< x) = 1 − e
−(µ
k
+λ
k
)x
, p
ζ
k
= (µ
k
+ λ
k
)e
−(µ
k
+λ
k
)x
,
Mζ
k
=
∞
Z
0
xp
ζ
k
(x)dx =
1
µ
k
+ λ
k
.
k (0, x)
k + 1 k
(x, x + dx)
λ
k
e
−(µ
k
+λ
k
)x
dx.
k+1 k
∞
Z
0
λ
k
e
−(µ
k
+λ
k
)x
dx =
λ
k
µ
k
+ λ
k
.
á) Ðåøåíèå ïîñëåäíåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûì
óñëîâèåì F (0, x) = x íàõîäèì â âèäå:
                   (
                            (µ−λ)(x−1)e(λ−µ)t
                     1 + (µ−λ)+(x−1)(λe (λ−µ)t −1) , µ 6= λ
             F =            x−1
                                                            .
                     1 + 1+λ(1−x)t , µ = λ
                               F (t, x) = M (xµt |µ0 = 1),
            ¯                              ¯
            ¯                              ¯
       Fx0 ¯¯         = M (µt xµt |µ0 = 1)¯¯   = M (µt |µ0 = 1) = e(λ−µ)t .
                x=1                        x=1
   Çàäà÷à 10.7. Ïóñòü ξt  ïðîöåññ ãèáåëè è ðàçìíîæåíèÿ. Ïîëî-
æèì mk = M (τ |ξ0 = k), 0 ≤ k ≤ n, ãäå τ  âðåìÿ äî ïåðâîãî äî-
ñòèæåíèÿ ñîñòîÿíèÿ n. Íàéòè: 1) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âðåìåíè
ïðåáûâàíèÿ â ñîñòîÿíèè k äî ïåðâîãî âûõîäà èç íåãî; 2) âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî ïåðâûì ïåðåõîäîì èç k áóäåò ïåðåõîä â k + 1 (k − 1). Ñî-
ñòàâèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ mk .
   Ðåøåíèå. 1) Ïóñòü ζk îçíà÷àåò âðåìÿ äî ïåðâîãî âûõîäà èç ñî-
ñòîÿíèÿ k. (ζk > x) − ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîöåññ íàõî-
äèòñÿ â ñîñòîÿíèè k â òå÷åíèå âðåìåíè (0, x). P (ζk > x + h|ζk > ) =
1 − h(µk + λk ) + · · · . Îáîçíà÷èì G(x) = P (ζk > x).
    G(x + h) = (ζk > x + h) = P (ζk > x) · P (ζk > x + h|ζk > x) =
= G(x) · (1 − h(µk + λk ) + · · · ). G0 = −(µk + λk ) · G, G − e−(µk +λk )x .
   Fζk (x) = P (ζk < x) = 1 − e−(µk +λk )x , pζk = (µk + λk )e−(µk +λk )x ,
                           Z∞
                                                  1
                    M ζk = xpζk (x)dx =                .
                                               µk + λk
                                   0
2) Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ â ñîñòîÿíèè k â òå÷åíèå âðåìåíè (0, x)
è çàòåì ïåðåõîäà â ñîñòîÿíèå k + 1 èç ñîñòîÿíèÿ k â ïðîìåæóòêå
(x, x + dx) ðàâíà
                         λk e−(µk +λk )x dx.
Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ñîñòîÿíèå k+1 èç ñîñòîÿíèÿ k çà áåñêîíå÷íîå
âðåìÿ ðàâíà:
                  Z∞
                                            λk
                     λk e−(µk +λk )x dx =         .
                                          µk + λk
                            0


                                          122

Страницы