Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
1
ξ
2
η
1
= ξ
2
1
+ ξ
2
2
; η
2
= arctan ξ
1
/ξ
2
;
(η
1
, η
2
).
p
ξ
1
(x) = p
ξ
2
(x) =
1
√
2π
e
−
x
2
2
,
F
η
1
(x) = P (ξ
2
1
+ ξ
2
2
< x) =
1
2π
Z Z
u
2
1
+u
2
2
<x
e
−
u
2
1
+u
2
2
2
du
1
du
2
=
=
1
2π
√
x
Z
0
dρ
2π
Z
0
ρe
−
ρ
2
2
dϕ =
= 1 − e
−x/2
, u
1
= ρ cos ϕ, u
2
= ρ sin ϕ, p
η
1
(x) =
1
2
e
−x/2
, x > 0.
F
η
2
(x) = P (arctan ξ
1
/ξ
2
< x) = P (ξ
1
/ξ
2
< x) =
=
1
2π
Z Z
u
1
/u
2
< x
e
−
u
2
1
+u
2
2
2
du
1
du
2
=
1
2π
∞
Z
0
ρe
−
ρ
2
2
dρ
Z
ϕ< x
dϕ =
=
1
2π
Z
(π/2−ϕ)< x
dϕ =
=
x
π
+
1
2
, (−
π
2
< x <
π
2
), p
η
2
(x) =
1
π
.
F
η
1
η
2
(x
1
, x
2
) = P (η
1
< x
1
, η
2
< x
2
) =
=
1
2π
Z Z
u
2
1
+ u
2
2
< x
u
1
/u
2
< x
e
−
u
2
1
+u
2
2
2
du
1
du
2
=
=
1
2π
√
x
Z
0
ρe
−
ρ
2
2
dρ
Z
ϕ< x
dϕ = F
η
1
(x
1
)F
η
2
(x
2
).
   Çàäà÷à 5.9. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 íåçàâèñèìû è íîðìàëü-
íî ðàñïðåäåëåíû ñ ïàðàìåòðàìè (0,1). Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-
íèÿ âåëè÷èí: à) η1 = ξ12 + ξ22 ; á) η2 = arctan ξ1 /ξ2 ; â) ñîâìåñòíóþ
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ (η1 , η2 ).
   Ðåøåíèå.
                                            1   x2
                       pξ1 (x) = pξ2 (x) = √ e− 2 ,
                                            2π
                                           Z Z     u2   2
                                        1           1 +u2
       Fη1 (x) = P (ξ12 + ξ22 < x) =           e− 2 du1 du2 =
                                       2π
                                                         u21 +u22  0.
                                                        2
          Fη2 (x) = P (arctan ξ1 /ξ2 < x) = P (ξ1 /ξ2 < tg x) =
             Z Z                  u2   2                     Z∞                    Z
       1                      −    1 +u2              1                   2
                                                                       − ρ2
    =                     e          2     du1 du2 =              ρe          dρ            dϕ =
      2π                                             2π
           u1 /u2

Страницы