Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
1
, ..., ξ
r
ξ
k
, k = 1, 2..., r,
(a
k
, σ
2
k
)
p
ξ
1
,...,ξ
r
(x
1
, ..., x
r
) =
1
(2π)
r/2
σ
1
···σ
r
exp{−
1
2
r
X
k=1
(x
k
− a
k
)
2
σ
2
k
}.
a = 1, σ = 2.
Φ(x).
Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
−∞
e
−
t
2
2
dt,
F
X
(x) = P (X < x) =
1
√
8π
x
Z
−∞
e
−
(t−1)
2
8
dt =
=
1
√
2π
x−1
2
Z
−∞
e
−
u
2
2
du = Φ(
x − 1
2
), u =
t − 1
2
.
X
(a = 1, σ
2
). P (X < 2) = 0.99.
M[X
2
] P (X
2
> 2).
MX = 1, DX = σ
2
, DX = MX
2
− (MX)
2
, MX
2
=
σ
2
+ 1. P (X < 2) = Φ(
2−1
σ
) = Φ(
1
σ
) = 0.99,
1
σ
= 2.33, σ =
1
2.33
≈ 0.43,
MX
2
= 1.18, P(X
2
> 2) = P (X < −
√
2) + P (X >
√
2) = Φ(
−
√
2−1
0.43
) +
1 − Φ(
√
2−1
0.43
).
(X, Y )
   4) Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ..., ξr èìåþò ìíîãîìåðíîå íîð-
ìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè êàæäàÿ èç ýòèõ âåëè÷èí èìååò îäíî-
ìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü, íàïðèìåð, ξk , k = 1, 2..., r,
èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (ak , σk2 ). Òîãäà
                                                                         r
                                            1                  1 X (xk − ak )2
     pξ1 ,...,ξr (x1 , ..., xr ) =                       exp{−                 }.
                                     (2π)r/2 σ1 · · · σr       2       σk2
                                                                 k=1


2.4.1 5-îå ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå. Ïëîòíîñòü è ôóíêöèÿ ðàñ-
      ïðåäåëåíèÿ.
  Çàäà÷à 14.361. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåíà
ñ ïàðàìåòðàìè a = 1, σ = 2. Âûðàçèòü åå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
÷åðåç ôóíêöèþ Φ(x).
   Ðåøåíèå.
                                Zx
                             1        t2
                     Φ(x) = √      e− 2 dt,
                             2π
                                                    −∞

                                                           Zx
                                         1                           (t−1)2
                   FX (x) = P (X < x) = √                       e−      8     dt =
                                         8π
                                                           −∞
                              x−1
                              Z2
                     1                    u2             x−1        t−1
                   =√                e−    2   du = Φ(       ), u =     .
                     2π                                   2          2
                            −∞

    Çàäà÷à 14.372. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíî-
ìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè (a = 1, σ 2 ). Èçâåñòíî, ÷òî P (X < 2) = 0.99.
Âû÷èñëèòü M [X 2 ] è P (X 2 > 2).
    Ðåøåíèå. M X = 1, DX = σ 2 , DX = M X 2 − (M X)2 , M X 2 =
σ 2 + 1. P (X < 2) = Φ( 2−1       1
                         σ ) = Φ( σ ) = 0.99, σ1 = 2.33, σ = 2.33
                                                              1
                                                                   ≈ 0.43,
     2             2
                                      √               √           √
                                                                − 2−1
M X = 1.18, P (X > 2) = P (X < − 2) + P (X > 2) = Φ( 0.43 ) +
         √
          2−1
1 − Φ(   0.43 ).
   Çàäà÷à 14.378. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y )
äèñêðåòíîãî òèïà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:

                                                  40

Страницы