Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F
ξη
(x, y)
√
x
ln y
√
x
ln y
y = e
y = 1
x = 0 x = 1
F
ξη
(x, y) 6= F
ξ
(x)F
η
(y), ξ η
P ((ξ, η) ∈ B) (ξ, η)
(ξ, η) F (x, y) = P (ξ < x, η) < y) =
x
R
−∞
y
R
−∞
p(u, v)dudv,
P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y) = P (ξ < x + ∆x, η < y) −P(ξ < x, η < y) =
= F (x + ∆x, y) − F (x, y) =
x+∆x
Z
x
y
Z
−∞
p(u, v)dudv.
P (x ≤ ξ < x + ∆x, y ≤ η < y + ∆y) = P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y + ∆y)−
−P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y) =
x+∆x
Z
x
y+∆y
Z
y
p(u, v)dudv ≈ p(x, y)∆x∆y.
P ((ξ, η) ∈ B) ≈
X
i,j
p(x
i
, y
j
)∆x
i
∆y
j
→
Z Z
B
p(u, v)dudv.
   Çíà÷åíèÿ ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Fξη (x, y) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü íà îñíîâå ðèñóíêà:
                                     √
                          0           x                  1
                 y=e
                                √
                                 x
                          0              ln y           ln y

                 y=1
                          0          0                   0
                          x=0                  x=1

Òàê êàê Fξη (x, y) 6= Fξ (x)Fη (y), òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η ÿâëÿ-
þòñÿ çàâèñèìûìè ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
   3) Î âåðîÿòíîñòè P ((ξ, η) ∈ B) äëÿ íåïðåðûâíîãî (ξ, η). Ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äâóìåðíîãî íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòî-
                                                     Rx Ry
ðà (ξ, η) èìååò âèä: F (x, y) = P (ξ < x, η) < y) =        p(u, v)dudv,
                                                                     −∞ −∞
îòêóäà ñëåäóåò

P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y) = P (ξ < x + ∆x, η < y) − P (ξ < x, η < y) =

                                                     Z Zy
                                                    x+∆x

           = F (x + ∆x, y) − F (x, y) =                         p(u, v)dudv.
                                                    x     −∞

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèì

P (x ≤ ξ < x + ∆x, y ≤ η < y + ∆y) = P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y + ∆y)−

                                      Z y+∆y
                                     x+∆x Z
 −P (x ≤ ξ < x + ∆x, η < y) =                           p(u, v)dudv ≈ p(x, y)∆x∆y.
                                      x         y

Ïîýòîìó
                          X                                    Z Z
       P ((ξ, η) ∈ B) ≈         p(xi , yj )∆xi ∆yj →                 p(u, v)dudv.
                          i,j                                   B


                                          39

Страницы