Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
ν −
θ ν.
θ ν
ν : n = 1, 2, ...;
θ : m = 1, 2, 3, 4. p = 4/6, q = 2/6. P (ν = n, θ = m) =
P (ν = n)P(θ = m/ν = n) = q
n−1
p/4 = 1/(2 · 3
n
), P (ν = n) = q
n−1
p,
P (θ = m) = 1/4, P(ν = n, θ = m) = P (ν = n)P (θ = m).
n n
α
ξ
F (x) = P (ξ < x)
x P (ξ > x) = 1 − F (x)
x η
(η > x)
x P(η > x) = (1 − F (x))
n
= e
−nαx
,
P (η < x) = 1 − P (η > x) = 1 −e
−nαx
, p
η
(x) = nαe
−nαx
.
ζ
P (ζ < x) = (F (x))
n
, p
ζ
(x) = nF
n−1
(x)p
ζ
(x) = nα(1 −
e
−αx
)
n−1
e
−αx
.
p
i
,
n
1
= 1000 p
1
= 0.0003; n
2
= 2000
p
2
= 0.0005 n
3
= 7000 p
3
= 0.0001.
A
k
k B
k
C
k
A = A
0
B
0
C
0
+ A
0
B
0
C
1
+ A
0
B
1
C
0
+ A
1
B
0
C
0
    Çàäà÷à 5.17. Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âïåð-
âûå íå âûïàäåò ìåíüøå ïÿòè î÷êîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç θ ÷èñëî î÷êîâ,
âûïàâøèõ ïðè ïîñëåäíåì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè, à ÷åðåç ν − ÷èñ-
ëî áðîñàíèé êîñòè. Íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå θ è ν. ßâëÿþòñÿ
ëè θ è ν íåçàâèñèìûìè?
    Ðåøåíèå. Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ν : n = 1, 2, ...; âîçìîæíûå çíà-
÷åíèÿ θ : m = 1, 2, 3, 4. p = 4/6, q = 2/6. P (ν = n, θ = m) =
P (ν = n)P (θ = m/ν = n) = q n−1 p/4 = 1/(2 · 3n ), P (ν = n) = q n−1 p,
P (θ = m) = 1/4, P (ν = n, θ = m) = P (ν = n)P (θ = m).
    Çàäà÷à 5.18. Íà n ñòàíêàõ îäíîâðåìåííî íà÷àëàñü îáðàáîòêà n
äåòàëåé. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âðåìåíà îáðàáîòêè äåòàëåé íåçàâèñèìû è
èìåþò ïîêàçàòåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì α, íàéòè ðàñïðå-
äåëåíèå âðåìåíè: à) äî ïîëó÷åíèÿ ïåðâîé îáðàáîòàííîé äåòàëè; á)äî
îêîí÷àíèÿ îáðàáîòêè âñåõ äåòàëåé.
    Ðåøåíèå. à) Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíîå âðåìÿ îáðàáîòêè äåòàëè îò-
äåëüíûì ñòàíêîì, òîãäà F (x) = P (ξ < x)  âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
äåòàëü çà âðåìÿ x áóäåò ñäåëàíà. P (ξ > x) = 1 − F (x)  âåðî-
ÿòíîñòü òîãî, ÷òî äåòàëü çà âðåìÿ x íå áóäåò ñäåëàíà. Ïóñòü η 
ñëó÷àéíîå âðåìÿ äî ïîëó÷åíèÿ ïåðâîé îáðàáîòàííîé äåòàëè, òîãäà
(η > x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íè îäíà äå-
òàëü íå áóäåò ñäåëàíà çà âðåìÿ x. P (η > x) = (1 − F (x))n = e−nαx ,
P (η < x) = 1 − P (η > x) = 1 − e−nαx , pη (x) = nαe−nαx .
    á) Ïóñòü ζ  ñëó÷àéíîå âðåìÿ äî îêîí÷àíèÿ îáðàáîòêè âñåõ äå-
òàëåé. Òîãäà P (ζ < x) = (F (x))n , pζ (x) = nF n−1 (x)pζ (x) = nα(1 −
e−αx )n−1 e−αx .
    Çàäà÷à 5.20. Ìàøèíà ñîñòîèò èç 10 000 äåòàëåé. Êàæäàÿ äåòàëü
íåçàâèñèìî îò äðóãèõ îêàçûâàåòñÿ íåèñïðàâíîé ñ âåðîÿòíîñòüþ pi ,
ïðè÷åì äëÿ n1 = 1000 äåòàëåé p1 = 0.0003; äëÿ n2 = 2000 äåòàëåé
p2 = 0.0005, è äëÿ n3 = 7000 äåòàëåé p3 = 0.0001. Ìàøèíà íå ðàáîòà-
åò, åñëè â íåé íåèñïðàâíû õîòÿ áû äâå äåòàëè. Íàéòè ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ìàøèíà íå áóäåò ðàáîòàòü.
    Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ïóàññîíà.
    Ðåøåíèå. Ïóñòü Ak îçíà÷àåò ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íå
èñïðàâíû k äåòàëåé 1-ãî ðîäà; Bk  2-ãî ðîäà; Ck  3-ãî ðîäà. Ñî-
áûòèå A = A0 B0 C0 + A0 B0 C1 + A0 B1 C0 + A1 B0 C0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî


                                  43

Страницы