Теория вероятностей и математическая статистика. Билялов Р.Ф. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X = (X
1
, ..., X
n
)
H
0
S −
H
0
X ∈ S,
X ∈
¯
S,
P
H
0
(S) = α
H
0
X ∈ S, H
0
α = P
H
0
(S) −
H
0
X ∈ S, H
0
α = P
H
0
(S) −
µ
³
´
S
¯
S
H
0
X ∈
¯
S,
H
1
.
P
H
1
(
¯
S) = β − β
1 − β = P
H
1
(S)
S
α 1 − β
L
H
0
(X
1
, ..., X
n
) − X
H
0
, L
H
1
(X
1
, ..., X
n
) − H
1
.
S
C
= {X = (X
1
, ..., X
n
) : L
H
1
/L
H
0
≥ C}.
α C, P
H
0
(S
C
) = α.
H
0
H
1
α,
S
C
3.7.2 Îáùèå ïðèíöèïû ñòàòèñòè÷åñêîé ïðâåðêè ãèïîòåç
Ïóñòü X = (X1 , ..., Xn )  íåêîòîðàÿ âûáîðêà. Íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî
ãèïîòåçà H0 âåðíà èëè íå âåðíà. Ïóñòü S − êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : åñëè X ∈ S, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãè-
ïîòåçà íå âåðíà, åñëè æå X ∈ S̄, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãèïîòåçà
âåðíà. Âåðîÿòíîñòü PH0 (S) = α íàçûâàåòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè. Íî
ìîæåò áûòü, ÷òî ãèïîòåçà H0 âåðíà, íî X ∈ S, ò.å. ãèïîòåçó H0 íóæíî
ñ÷èòàòü íåâåðíîé. Ìû ñîâåðøàåì îøèáêó ïåðâîãî ðîäà: îòâåðãàåòñÿ
âåðíàÿ ãèïîòåçà. α = PH0 (S) − âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà.
Íî ìîæåò áûòü, ÷òî ãèïîòåçà H0 âåðíà, íî X ∈ S, ò.å. ãèïîòåçó H0
íóæíî ñ÷èòàòü íåâåðíîé. Ìû ñîâåðøàåì îøèáêó ïåðâîãî ðîäà: îòâåð-
ãàåòñÿ âåðíàÿ ãèïîòåçà. α = PH0 (S) − âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî
ðîäà.


     ¶ S̄ ³
                        Íî ìîæåò áûòü, ÷òî ãèïîòåçà H0 íå âåðíà, íî
       S                X ∈ S̄, òîãäà ìû ñîâåðøàåì îøèáêó 2-ãî ðîäà,
     µ ´
                        êîãäà íåâåðíóþ ãèïîòåçó ïðèíèìàåì çà âåð-
                        íóþ. ×òîáû îöåíèòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè 2-ãî
                        ðîäà, äîïóñòèì, ÷òî èìååòñÿ êîíêóðèðóþùàÿ
                        ãèïîòåçà H1 .

Òîãäà PH1 (S̄) = β − âåðîÿòíîñòü îøèáêè 2-ãî ðîäà. β äîëæíà èìåòü
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. Âåðîÿòíîñòü 1 − β = PH1 (S) îïðîâåðãíóòü
íåâåðíóþ ãèïîòåçó íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ. S íóæíî ïîäî-
áðàòü òàê, ÷òîáû ïðè çàäàííîì α âåëè÷èíà 1 − β èìåëà íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå.
   Ïóñòü LH0 (X1 , ..., Xn ) − ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âûáîðêè X
ïðè ãèïîòåçå H0 , LH1 (X1 , ..., Xn ) − òî æå ñàìîå ïðè ãèïîòåçå H1 . Ïî-
ëîæèì SC = {X = (X1 , ..., Xn ) : LH1 /LH0 ≥ C}. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî
α íàéäåòñÿ òàêîå C, ÷òî PH0 (SC ) = α.
   Òåîðåìà Íåéìàíà  Ïèðñîíà. Ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâ, ðàçëè÷à-
þùèõ ãèïîòåçû H0 è H1 ñ çàäàííîé îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà α, íàèáî-
ëåå ìîùíûì ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé, îïðåäåëÿåìûé êðèòè÷åñêèì ìíî-
æåñòâîì SC .

                                   87

Страницы