Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.3 Система координат, связанная с произвольной точкой
поверхности постоянного уровня
Касательные и нормаль могут рассматриваться как система координат с началом в выбранной точке
поверхности. Данная система координат обладает тем важным свойством, что частные производные от
функции Q (u) по направлениям осей равны нулю, так как вдоль этих направлений функция Q (u) со-
храняет постоянное значение. В соответствии со сказанным производная по произвольному направле-
нию l запишется как
),(cos
)()(
lu
u
uQ
l
uQ
∧
∂
∂
=
∂
∂
(3.5)
что следует из (3.4), где производные по всем осям, за исключением нормали, оказываются равными
нулю.
Максимальное значение cos
α по абсолютной величине не превышает единицы, аргумент при этом
равен нулю, следовательно, направление, по которому производная ∂Q / ∂l имеет максимальное значе-
ние, совпадает с направлением нормали к поверхности постоянного уровня функции Q (u). Если теперь
по направлению нормали отложить вектор длиной равной
,
u
Q
∂
∂
то полученный вектор называется гра-
диентом скалярной функции Q (u) в точке u и обозначается ∇Q (u) (читается "набла ку") или (
)(grad uQ ).
Формулу (3.5) можно записать как
=
∂
∂
l
uQ )(
= ∇
l
Q (u), где ∇
l
Q (u) – проекция градиента функции Q (u) по направлению l. Отсюда следует, что про-
екции вектора градиента на оси координат равны производным функции Q (u) по соответствующим пе-
ременным, т.е. ∇Q (u)
....,,,
21
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
u
Q
u
Q
u
Q
Основным свойствам градиента целевой функции является то, что вектор градиента по направлению
совпадает с направлением наискорейшего возрастания этой функции. Именно это свойство обусло-
вило применение градиентных методов при решении задач нелинейного программирования.
3.3 МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Задача поиска экстремума функции одной переменной возникает при оптимизации целевой функции,
зависящей от одной скалярной переменной. Такие задачи входят составной частью во многие итера-
ционные методы решения задач многомерной оптимизации.
Например, численные методы поиска экстремума имеют особенность в том, что их применение не
позволяет определить точное значение координат, при котором достигается экстремум функции. В
этом случае определяют интервал неопределенности, в котором локализуется экстремум функции.
Величина этого интервала – ∆, определяется исходя из требований точности результата решения при

Страницы