Учебное пособие по высшей математике. Богинич А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УГМУ | Екатеринбург

Составители: 

Рубрика: 

6
ПРИМЕР. Начальное значение аргумента 3
=
x
, приращение аргумента
2−=∆
x
. Найти соответствующее приращение y
∆
функции
2
xy = .
РЕШЕНИЕ: Так как
3
1
=x
и
2
12
−
=
−
xx
, то
1
2
=
x
. Функция
2
xy
=
принимает сначала значение
93
2
1
=
=
y , а затем 11
2
2
=
=
y .
Приращение функции есть
891
12
−
=
−
=
−
=
∆
yyy .
§ 2. Производная функции и ее физический смысл
Cоставим отношение приращения функции к приращению аргумента:
х
xfхxf
x
y
∆
−
∆
+
=
∆
∆ )()(
Это отношение показывает, во сколько раз в данном интервале (х, х+∆х)
приращение функции больше приращения аргумента, т.е. это отношение есть
средняя скорость изменения функции у относительно аргумента х в интервале
(х, х+∆х).
Переходя к пределу
х
у
∆
∆
при ∆х→0, получим величину, равную скорости
изменения функции относительно аргумента в точке х. Этот предел
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim
и
называется производной от функции у (или просто производной функции) по
аргументу х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Производной функции у= f (х) при данном значении
аргумента х называется предел отношения приращения функции
y
∆
к
приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к
нулю.
Производная обозначается одним из символов:
'
x
y
(читается «игрек штрих
по икс»),
y
′
,
dx
dy
(«де игрек по де икс»),
)(xf
′
(«эф штрих от икс»). Пользуясь
обозначением производной, можно написать:
y
′
=
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim

Страницы