Изучение явления резонанса в колебательном контуре. Боков П.Ю - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
[
]
Z
Ri L LC CR
LC C R
=
+⋅ − −
−+
ωω
ωω
()
()
1
1
22
22222
. (23)
При равенстве мнимой части импеданса нулю, т.е. при выпол-
нении соотношения
LLCCR()10
22
−−=ω (24)
сопротивление цепи эквивалентно омическому.
Решая уравнение (24) относительно
ω
, получаем:
$
()ωωωω
2
2
2
0
22
0
2
0
2
2
1
1
=
−
=− ⋅≈⋅−
LCR
LC
R
C
L
Q
, (25)
где
ω
0
1
=
LC
- собственная частота незатухающих колебаний в кон-
туре;
Q
R
L
C
=
1
- добротность контура.
Можно показать, что в этом случае модуль импеданса принима-
ет максимальное значение, равное
Z
L
CR
RQ=≈
2
. (26)
В настоящей работе для изучения рассматриваемых процессов
в схеме, изображенной на рис. 1,б вместо генератора ЭДС использует-
ся генератор переменного тока
It I e
it
()=⋅
0
ω
, где I
0
- амплитудное
значение силы тока. Тогда значение комплексной амплитуды падения
напряжения на контуре находится из соотношения:
UZI ZIe
i
00 0
=⋅= ⋅⋅
ϕ
, (27)
где
[
]
tg
LLCCR
R
ϕ
ωω
=
⋅− −()1
22
- разность фаз между падением напряжения на контуре и током.
Для частоты
$
ω
падение напряжения на контуре будет макси-
мальным:
$
U
L
CR
I
00
= . Найдем комплексную амплитуду силы тока, про-
текающего через конденсатор в этом случае (при
Q >> 1
):
$
$
$
I
U
Z
L
CR
IiCi
R
L
C
IiQI
C
C
0
0
000
1
==⋅⋅≈ ⋅≈⋅ω
. (28)
Таким образом, ток, протекающий через конденсатор, по моду-
лю в
Q раз больше тока, даваемого генератором. Это явление носит 
                                               8


                           Z =
                                               [
                                 R + i ω ⋅ L (1 − ω 2L C ) − CR 2
                                                             (23)
                                                                           ].
                                                   2   2   2   2   2
                              (1 − ω L C ) + ω C R
       При равенстве мнимой части импеданса нулю, т.е. при выпол-
нении соотношения
                     L (1 − ω 2 L C ) − CR 2 = 0             (24)
сопротивление цепи эквивалентно омическому.
       Решая уравнение (24) относительно ω , получаем:
                L − CR 2                  C                      1
       ω$ 2 =              = ω 20 − R 2     ⋅ ω 20 ≈ ω 20 ⋅ (1 − 2 ) ,          (25)
                    L 2C                  L                     Q
                1
где ω 0 =            - собственная частота незатухающих колебаний в кон-
            LC
          1 L
туре; Q =       - добротность контура.
          R C
       Можно показать, что в этом случае модуль импеданса принима-
ет максимальное значение, равное
                                     L
                              Z =       ≈ RQ 2 .                       (26)
                                    CR
       В настоящей работе для изучения рассматриваемых процессов
в схеме, изображенной на рис. 1,б вместо генератора ЭДС использует-
ся генератор переменного тока I (t ) = I 0 ⋅ ei ωt , где I 0 - амплитудное
значение силы тока. Тогда значение комплексной амплитуды падения
напряжения на контуре находится из соотношения:
                     U 0 = Z ⋅ I 0 = Z ⋅ I 0 ⋅ ei ϕ ,                  (27)
где

                              tgϕ =
                                           [
                                      ω ⋅ L (1 − ω 2 L C ) − CR 2      ]
                                                 R
- разность фаз между падением напряжения на контуре и током.
        Для частоты ω$ падение напряжения на контуре будет макси-
                  L
мальным: U$ 0 =     I 0 . Найдем комплексную амплитуду силы тока, про-
                 CR
текающего через конденсатор в этом случае (при Q >> 1 ):
              U$      L                      1 L
        I$0C = 0 =        ⋅ I 0 ⋅ i ω$ C ≈ i     ⋅ I 0 ≈ iQ ⋅ I 0 . (28)
              ZC    CR                       R C
        Таким образом, ток, протекающий через конденсатор, по моду-
лю в Q раз больше тока, даваемого генератором. Это явление носит

Страницы