Изучение явления резонанса в колебательном контуре. Боков П.Ю - 8 стр.

                                    7

ременного тока. Так как частота ω одна и та же для всех колебаний в
цепи, то множитель ei ωt можно не указывать, в этом случае закон Ома
может быть записан не для мгновенных значений тока и напряжения в
цепи, а для их комплексных амплитуд:
                              U = Z ⋅I ,                         (18)
где U и I - комплексные амплитуды колебаний напряжения и тока в
цепи соответственно; Z - комплексное сопротивление цепи, называе-
мое импедансом.
        Если участок цепи содержит только активное сопротивление R ,
либо только конденсатор емкостью C , либо только катушку индуктив-
ности L , то соответствующие выражения для импеданса имеют вид:
                                        1
                Z R = R,       ZC =       ,     Z L = i ωL .     (19)
                                     i ωC
        Зная эти соотношения и применяя законы Кирхгофа к цепям пе-
ременного тока, можно сформулировать следующее правило для рас-
чета комплексного сопротивления цепи: поставить в соответствие каж-
дому элементу цепи его комплексное сопротивление, а затем исполь-
зовать правила вычисления суммарного сопротивления цепи для посто-
янного тока, т.е. при последовательном соединении сопротивления
складываются, при параллельном - складываются обратные величины
(проводимости).
        Значение импеданса в общем виде может быть представлено в
следующем виде:
                        Z = X + iY = Z ⋅ ei ϕ ,                  (20)
где X и Y - соответственно активная и реактивная составляющие ком-
плексного   сопротивления;    Z =       X2 +Y 2   -   модуль   импеданса;
         ⎛Y ⎞
ϕ = arctg⎜ ⎟ - фазовая характеристика импеданса.
         ⎝X⎠
       Применим полученные соотношения для расчета цепи с парал-
лельным соединением элементов контура (рис. 1,б). Импеданс цепи
находится из следующего соотношения:
                      1          1
                          =            + i ωC                 (21)
                      Z     R + i ωL
       или
                         R + i ωL              R + i ωL
              Z =                         =                 . (22)
                  1 + i ωC ⋅ ( R + i ωL ) 1 − ω 2CL + i ωCR
       Умножая числитель и знаменатель (22) на (1 − ω 2CL ) − i ( ωCR) ,
получаем: