Электротехника. Бондаренко А.В. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

346 347
Глава 7. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Частотный метод анализа основан на исследовании периодических
функций с помощью математического аппарата рядов и интегралов Фу-
рье. Из математики известно, что всякая ограниченная периодическая
функция f(t), имеющая в интервале периода Т конечное число точек раз-
рыва первого ряда (удовлетворяющая условиям Дирихле), может быть
разложена в
ряд Фурье. Таким образом,
,sincos
2
)(
11
0
¦¦
f
f
ZZ
k
k
kk
tkbtka
a
tf
(7.1)
где
f
T
S
S
Z 2
2
– основная угловая частота;
2
0
a
– постоянная составляля-
ющая, равная среднему значению функции f(t) за период Т;
kk
ba
,
–
амплитуды гармоник – коэффициенты ряда Фурье. Определим
k
a
и
k
b
с учетом свойства ортогональности тригонометрических функций, заклю-
чающегося в следующем:
°
¯
°
®
z
¿
¾
½
¯
®
Z
Z
¿
¾
½
¯
®
Z
Z
³
,,
2
,,0
cos
sin
cos
sin
0
ki
T
ki
dt
ti
ti
tk
tk
T
(7.2)
или подробнее:
³
°
¯
°
®
z
ZZ
T
ki
T
ki
tdtitk
0
;,
2
,,0
sinsin
³
°
¯
°
®
z
ZZ
T
ki
T
ki
tdtitk
0
;,
2
,,0
coscos
³
ZZ
T
tdtitk
0
0cossin
для любых k и i.
Умножим обе части f(t) в (7.1) сначала на
t
k
Z
co
s
, а затем на
t
k
Zsi
n
и проинтегрируем по периоду, тогда с учетом (7.2) получим
,
2
cos)(
0
³
Z
T
k
T
atdtktf
т. е.
;cos)(
2
0
³
Z
T
k
tdtktf
T
a
(7.3)
,
2
sin)(
0
³
Z
T
k
T
btdtktf
т. е.
.sin)(
2
0
³
Z
T
k
tdtktf
T
b
(7.4)
Среднее значение f(t) за период Т определяется выражением
,
2
)(
1
0
0
³
T
a
dttf
T
(7.5)
причем остальные интегралы равны нулю согласно свойствам перио-
дичности гармонических функций.
Если учесть то обстоятельство, что
,)sin(sincos
kkkk
tkAtkbtka
Z
Z
Z
где
22
kkk
baA
;
k
k
k
b
a
Dtg
. Тогда, согласно (7.1), найдем
,)sin(
2
)(
1
0
¦
f
DZ
k
kk
tkA
a
tf
(7.6)
причем
kkk
Aa
sin
;
kkk
Ab
cos
. (7.7)
Несложно рассмотреть и другое тождество:
,)cos(sincos
kkkk
tkBtkbtka
E
Z
Z
Z
где
.sin;cos
;tg;
22
k
k
k
k
k
k
k
k
kkkkk
BbBa
a
b
AbaB
E E
E
(7.8)

Страницы