Математический анализ. Бондарева Е.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 29 —
5.20. Ïðÿ îóãîëü óþ ïëîùàäêó çåëè ïëîùàäüþ 512
2
òðåáóåòñÿ îãîðîäèòü çàáîðî è ðàçäåëèòü à òðè ðàâ ûå ÷àñòè,
ïàðàëëåëüíûå îäíîé èç ñòîðîí ïëîùàäêè. Êàêèè ñëåäóåò âûá-
ðàòü ðàçìåðû ñòîðîí ïëîùàäêè, ÷òîáû íà ïîñòðîéêó çàáîðà ïî-
øëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà?
Ðåøåíèå òèïîâîé çàäà÷è
Çàäà÷à. Ñðåäè öèëèíäðîâ, ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðûõ
ðàâíà S=6π(ì
3
), íàéòè öèëèíäð, èìåþùèé íàèáîëüøèé îáúå .
Ðåøåíèå. Ïóñòü ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâå x, à âû-
ñîòà ðàâíà y. Òîãäà
xyxS 22
2
+=
, îòêóäà
,2
2
1
2
2
2
−
π
=
−
= x
x
S
x
xS
y
òî åñòü îáúåì öèëèíäðà ìîæåò áûòü âûðàæåí ñëåäóþùè îáðàçî:
32
2
2
2
1
xx
S
x
x
S
xV −=
−⋅=
.
Èññëåäóåì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ íà ìàêñè ó ïðè x>0.
Èìååì
03
2
2
=−= x
S
dx
dv
ïðè
1
6
6
6
===
S
x
. Òàê êàê ïðè
x =1 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
,06
2
2
<−=
dx
Vd
òî îáúå è ååò àè-
áîëüøåå çíà÷åíèå. Ïðè ýòîì
,2
2
26
2
2
=
−
=
−
=
S
y
ïîýòî ó
èñêîìûå çíà÷åíèÿ ðàäèóñà îñíîâàíèÿ è âûñîòû öèëèäðà ðàâ-
íû ñîîòâåòñòâåííî 1 è 2.
Çàäàíèå 6.  çàäà÷àõ 6.1.—6.6. äàíà ôóíêöèÿ ó = f(x) è ç à-
÷åíèÿ àðãóìåíòà x
1
è x
2
. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äàîé
ôóíêöèè ïðè x = x
2
, èñõîäÿ èç åå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïðè x = x
1
è çàìåíÿÿ ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ∆y ñîîòâåòñòâóþùè äèôôå-
ðåíöèàëîì dy.
     5.20. Ïðÿ îóãîëü óþ ïëîùàäêó çå ëè ïëîùàäüþ 512 2
òðåáóåòñÿ îãîðîäèòü çàáîðî è ðàçäåëèòü à òðè ðàâ ûå ÷àñòè,
ïàðàëëåëüíûå îäíîé èç ñòîðîí ïëîùàäêè. Êàêè è ñëåäóåò âûá-
ðàòü ðàçìåðû ñòîðîí ïëîùàäêè, ÷òîáû íà ïîñòðîéêó çàáîðà ïî-
øëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà?
     Ðåøåíèå òèïîâîé çàäà÷è
     Çàäà÷à. Ñðåäè öèëèíäðîâ, ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðûõ
ðàâíà S = 6π (ì3), íàéòè öèëèíäð, èìåþùèé íàèáîëüøèé îáúå .
     Ðåøåíèå. Ïóñòü ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâå x, à âû-
ñîòà ðàâíà y. Òîãäà S = 2 x 2 + 2 xy , îòêóäà

                      S − 2 x2   1 S    
                 y=            =  − 2 x ,
                        2 x     2π  x   
òî åñòü îáúåì öèëèíäðà ìîæåò áûòü âûðàæåí ñëåäóþùè îáðàçî :

                              1 S      S
              V=      x2 ⋅       − 2 x = x −   x3 .
                             2 x       2
     Èññëåäóåì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ íà ìàêñè ó            ïðè x > 0.
        dv S                        S     6
Èìååì     = − 3 x 2 = 0 ïðè x =       =       = 1. Òàê êàê ïðè
        dx 2                       6      6
                          d 2V
x = 1 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå      = −6 < 0, òî îáúå è ååò àè-
                          dx 2
                                 S−2      6 −2
áîëüøåå çíà÷åíèå. Ïðè ýòîì y =          =           = 2, ïîýòî ó
                                  2         2
èñêîìûå çíà÷åíèÿ ðàäèóñà îñíîâàíèÿ è âûñîòû öèëè äðà ðàâ-
íû ñîîòâåòñòâåííî 1 è 2.

     Çàäàíèå 6.  çàäà÷àõ 6.1.—6.6. äàíà ôóíêöèÿ ó = f(x) è ç à-
÷åíèÿ àðãóìåíòà x1 è x2. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äà îé
ôóíêöèè ïðè x = x2 , èñõîäÿ èç åå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïðè x = x1
è çàìåíÿÿ ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ∆y ñîîòâåòñòâóþùè äèôôå-
ðåíöèàëîì dy.




                                — 29 —

Страницы