Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
7. Практические задания
Цель практических заданий – изучение особенностей энергетического
спектра электронов и зонной структуры кристаллических твердых тел с
помощью одномерной модели Кронига – Пенни , позволяющей наиболее
наглядно проследить образование зонной структуры при взаимодействии
сближающихся атомов.
Задача математического моделирования зонной структуры с
помощью модели Кронига – Пенни включает три этапа, которые на
персональном компьютере реализованы в трех модулях .
1. Моделирование состояний свободного электрона в изолированном
искусственном «атоме».
2. Моделирование сильносвязанных электронных состояний для
цепочки искусственных «атомов» (Е < V
0
, E – энергия электрона, V
0
–
высота потенциального барьера).
3. Моделирование слабосвязанных электронных состояний (E > V
0
).
Первый этап. Изолированный «атом». В одномерном случае
моделью электрона в искусственном изолированном «атоме» является
свободный электрон в прямоугольной потенциальной яме с конечной
высотой барьера V
0
, показанной на рис.2. Уравнения для собственных
(разрешенных) значений энергии (24) и (25), вытекающие из уравнения
Шредингера при E < V
0
, имеют вид
,
a
ctg β−=
α
α
2
(24
’
)
,
a
tg β=
α
α
2
(25
’
)
где
()
,/EVm,/mE hh −=β=α
0
22 а – ширина ямы , и разрешенные
дискретные уровни энергии электрона в симметричной потенциальной яме
выражаются формулой
,
m
E
n
n
2
22
α
=
h
(49)
где α
n
- решения уравнений (24
’
) и (25
’
) .
При E > V
0
электрон имеет непрерывный энергетический спектр.
На первом этапе решения задачи необходимо смоделировать нужный
изолированный «атом», т. е., подбирая ширину потенциальной ямы и
высоту потенциального барьера, добиться того, чтобы у электрона,
находящегося внутри ямы , получилось 5 – 10 разрешенных энергетических
уровней .
Второй этап. Модель Кронига – Пенни (E < V
0
). Модель
представляет собой одномерную систему чередующихся прямоугольных
потенциальных ям и барьеров (рис. 5). При решении уравнения
Шредингера и сшивании решений для ямы и барьера с учетом
периодичности для нахождения собственных значений энергии получено 
                                       28
                            7. П рактичес кие задания

      Ц ель практ и чески х задани й –и зучени еособенност ей э нергет и ческого
спект ра э лект ронови зонной ст рукт уры кри ст алли чески х т верды х т ел с
помощ ью одномерной модели К рони га – П енни , позволяю щ ей наи более
наглядно проследи т ь образовани е зонной ст рукт уры при взаи модей ст ви и
сбли ж аю щ и х ся ат омов.
       Задача мат емат и ческого модели ровани я зонной ст рукт уры с
помощ ью модели К рони га – П енни вклю чает т ри э т апа, кот оры е на
персональном компью т еререали зованы вт рех модулях .
       1. М одели ровани есост ояни й свободного э лект ронави золи рованном
и скусст венном «ат оме».
       2. М одели ровани е си льносвязанны х э лект ронны х сост ояни й для
цепочки и скусст венны х «ат омов» (Е < V0, E – э нерги я э лект рона, V0 –
вы сот апот енци ального барьера).
       3. М одели ровани еслабосвязанны х э лект ронны х сост ояни й (E > V0).
       П ервый этап. И золи рованны й         «ат ом». В одномерном случае
моделью э лект рона в и скусст венном и золи рованном «ат оме» являет ся
свободны й э лект рон в прямоугольной пот енци альной яме с конечной
вы сот ой барьера V0, показанной на ри с.2. У равнени я для собст венны х
(разреш енны х ) значени й э нерги и (24) и (25), вы т екаю щ и е и з уравнени я
Ш реди нгерапри E < V0 , и мею т ви д
                                        αa
                                 α ctg      = −β,                          (24 ’ )
                                         2
                                       αa
                                  α tg     = β,                            (25 ’ )
                                        2
где α = 2mE / h , β = 2m(V0 − E ) / h , а – ш и ри на ямы , и разреш енны е
ди скрет ны еуровни э нерги и э лект ронавси ммет ри чной пот енци альной яме
вы раж аю т ся ф ормулой
                                         h 2 α 2n
                                    En =          ,                          (49)
                                          2m
гдеαn - реш ени я уравнени й (24’ ) и (25’ ) .
       П ри E > V0 э лект рон и меет непреры вны й э нергет и чески й спект р.
       Н апервом э т апереш ени я задачи необх оди мо смодели роват ь нуж ны й
и золи рованны й «ат ом», т . е., подби рая ш и ри ну пот енци альной ямы и
вы сот у пот енци ального барьера, доби т ься т ого, чтобы у э лект рона,
нах одящ егося внут ри ямы , получи лось 5 –10 разреш енны х э нергет и чески х
уровней .
       Второй этап. М одель К рони га – П енни (E < V0). М одель
предст авляет собой одномерную си ст ему чередую щ и х ся прямоугольны х
пот енци альны х ям и барьеров (ри с. 5). П ри реш ени и уравнени я
Ш реди нгера и сш и вани и реш ени й для ямы и барьера с учет ом
пери оди чност и для нах ож дени я собст венны х значени й э нерги и получено

Страницы