Электротехника и электроника. Брякин Л.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

)(
ϕω
+tj
e
= )cos(
ϕ
ω
+
t +
j
)sin(
ϕ
ω
+
t .
То есть можно допустить замену заданного тока функцией комплексной
переменной, содержащей синусную и косинусную составляющие одновремен-
но и ставить задачу определения амплитудных и фазовых параметров интере-
сующих нас переменных. С учётом сказанного заданный ток в комплексном
виде может быть представлен следующим образом:
tj
M
tjj
M
tj
M
eIeeIeI
ωωϕϕω
=⋅=⋅
+ )(
,
где
ϕ
j
MM
eII ⋅= - комплексное изображение тока.
Производная от тока равна:
)
2
sin()cos(
π
ϕωωϕωω
++=+⋅= tItI
dt
di
MM
.
Изображение этой функции будет следующее:
tj
M
tjj
j
M
eIjeeeI
ωωϕ
π
ωω
⋅=
2
,
где учтено равенство:
jje
j
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
sin
2
cos
2
ππ
π
.
Полученное равенство доказывает, что взятие производной в комплексном изо-
бражении равносильно умножению на произведение
ω
j
.
Интеграл от тока, в котором не учтены постоянные составляющие, равен:
)
2
sin()cos()sin(
00
π
ϕω
ω
ϕω
ω
ϕω
−+⋅=+−=⋅+=⋅
∫∫
t
I
t
I
dttIdti
MM
t
M
t
.
Изображение этой функции будет следующее:
tj
M
tjj
M
e
j
I
ee
I
j
ωωϕ
ωω
⋅=⋅⋅⋅− .
Деление изображения переменной на произведение
ω
j
равносильно взятию ин-
теграла.
Используя сказанное, преобразуем предложенное в параграфе 2.1.3 дифферен-
циальное уравнение для последовательной цепи в алгебраическое уравнение с
комплексными переменными: 
                                    e j (ωt +ϕ )            = cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) .


      То есть можно допустить замену заданного тока функцией комплексной
переменной, содержащей синусную и косинусную составляющие одновремен-
но и ставить задачу определения амплитудных и фазовых параметров интере-
сующих нас переменных. С учётом сказанного заданный ток в комплексном
виде может быть представлен следующим образом:
                                 I M ⋅ e j (ωt +ϕ ) = I M e jϕ ⋅ e jωt = I M e jωt ,

      где I M = I M ⋅ e jϕ - комплексное изображение тока.

Производная от тока равна:
                          di                                           π
                             = ω ⋅ I M cos(ωt + ϕ ) = ωI M sin(ωt + ϕ + ) .
                          dt                                           2
Изображение этой функции будет следующее:
                                                    π
                                                j
                                    ωI M e 2 e jϕ e jωt = jω I M ⋅ e jωt ,
                                           π
                                       j            ⎛π ⎞          ⎛π ⎞
      где учтено равенство: e              2
                                               = cos⎜ ⎟ + j ⋅ sin ⎜ ⎟ = j .
                                                    ⎝2⎠           ⎝2⎠

Полученное равенство доказывает, что взятие производной в комплексном изо-
бражении равносильно умножению на произведение jω .
Интеграл от тока, в котором не учтены постоянные составляющие, равен:
            t         t
                                                            IM                          IM              π
            ∫ i ⋅ dt = ∫ I M sin(ωt + ϕ ) ⋅ dt = −
            0         0
                                                             ω
                                                                 cos(ωt + ϕ ) =
                                                                                        ω
                                                                                          ⋅ sin(ωt + ϕ − ) .
                                                                                                        2

Изображение этой функции будет следующее:
                                               IM                          IM
                                    − j⋅                ⋅ e jϕ ⋅ e jωt =        ⋅ e jωt .
                                               ω                           jω

Деление изображения переменной на произведение jω равносильно взятию ин-
теграла.
Используя сказанное, преобразуем предложенное в параграфе 2.1.3 дифферен-
циальное уравнение для последовательной цепи в алгебраическое уравнение с
комплексными переменными:

Страницы