Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 2 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
1. Теория устойчивости
1.1. Основные понятия
В общем случае трудно получить количественную информацию в отношении решений
нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих физических задачах независимая
переменная x играет роль времени, а зависимая переменная y определяет состояние си-
стемы. Часто нет необходимости знать решение явно, а достаточно получить информацию
о поведении решения при больших временах. Во многих физических задачах имеются
основания считать, что малые изменения в условиях задачи ведут к малым изменениям
в решении.
Например, рассмотрим линейное уравнение
y
0
= Ay + b(x) , (1.1)
где A — постоянная матрица. Пусть y
1
и y
2
— два решения уравнения (1.1), отвечающие
различным начальным условиям. Положим
z = y
2
− y
1
,
тогда
z
0
= Az . (1.2)
Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательную вещественную часть:
Reλ
i
< 0 (∀i). Согласно общей теории решение z является суммой функций
x
j
e
λ
i
x
c
ij
(j = 0, . . . k
i
− 1) (1.3)
где k
i
— кратность собственного значения λ
i
, а c
ij
— постоянные векторы. Но тогда
z →
x→∞
0 .
В этом случае говорят, что решения уравнения (1.1) устойчивы. Если хотя бы одно
из собственных значений имеет λ
i
имеет положительную вещественную часть, общее
