Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 4 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Оно имеет следующие частные решения
y
1
= 0, y
2
= 1, y
3
= 2 .
Если y 6= 0, 1, 2, то делением переменных найдем общий интеграл
(y − 1)
2
=
1
1 + c
2
e
−2x
.
Легко можно исследовать устойчивость решений y
1
, y
2
, y
3
, см. рис. 1. Решения y = 0 и
y = 2 — устойчивы, а y = 1 — нет. Любое решение с начальным значением больше 1
приближается к y = 2, любое решение с начальным значением меньше 1 приближается
к y = 0. Если начальное значение равно 1, получаем решение y = 1.
Определение 1.3. Решения уравнения (1.4)
y
0
= f(x, y)
называются устойчивыми по Ляпунову относительно множества Ω начальных усло-
вий, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 :
(
ky
2
(x
0
) − y
1
(x
0
)k < δ ,
y
1
(x
0
) , y
2
(x
0
) ∈ Ω
⇒ ky
2
(x) − y
1
(x)k < ε (∀x > x
0
),
где y
1
и y
2
— произвольные решения уравнения (1.4), а x
0
— фиксированная начальная
точка.
Аналогичное определение дается в отношении асимптотической устойчивости.
Упражнение 1.4. Сформулировать определение асимптотической устойчивости решений
уравнения (1.4) в отношении множества Ω начальных условий.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
