Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 6 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В отношении примера (1.5) решение y = 0 является асимптотически устойчивым для
начальных условий y(0) < 1, решение y = 2 является асимптотически устойчивым для
начальных условий y(0) > 1.
Если речь идет об устойчивости частного решения, обычно имеется ввиду устойчи-
вость решений относительно начальных данных, лежащих в достаточно малой окрестно-
сти начального условия рассматриваемого частного решения.
Решения системы
y
0
= Jy , J =
0 1
−1 0
, (1.6)
не являются асимптотически устойчивыми, поскольку собственные значения матрицы
J равны ±i (вещественная часть не является отрицательной). Однако решения этого
уравнения являются устойчивыми по Ляпунову. Действительно, положим
y(0) = b
b
1
b
2
.
Тогда
y(x) = e
Jx
y(0) = (cos x · I + sin x · J)y(0) =
b
1
cos x + b
2
sin x
b
2
cos x − b
1
sin x
.
Если определит норму вектора равенством
kbk = max{|b
1
|, |b
2
|},
то
ky(x)k 6 2ky(0)k.
Поэтому, обращаясь к проверке устойчивости по Ляпунову, фиксировав ε > 0, достаточно
выбрать δ =
ε
2
.
В случае линейных дифференциальных систем уравнений (1.1) с постоянными ко-
эффициентами вопросы устойчивости сводятся к изучению корней характеристического
уравнения
det(A − λI) = 0 . (1.7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
