Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 7 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Последняя задача, сама по себе, может быть чрезвычайно сложной, однако эти трудности
лежат в области специальных вопросов алгебры, см., например, критерий Рауса–Гурвица
в [3]. Мы не будем касаться этой темы.
Вопросы устойчивости в линейном случае, но с переменными коэффициентами, а
тем более, в нелинейном случае, могут быть несравненно более трудными. Однако, во
многих случаях можно достаточно много сказать о характере решений. Примером такого
положения является следующая теорема.
Теорема 1.5. Решения задачи Коши
(
y
0
= Ay + f(x, y) ,
y(0) = b
(1.8)
являются асимптотически устойчивыми, если все собственные числа матрицы A
имеют отрицательную вещественную часть, а функция f непрерывна и удовлетво-
ряет оценке
kf(x, y)k 6 kkyk, (1.9)
где k — достаточно мало (и зависит от A). Например, считая, что
ke
Ax
k 6 ce
−αx
, (1.10)
достаточно требовать, чтобы
ck < α . (1.11)
Доказательство. Положим (в духе метода вариации постоянных)
y = e
Ax
z ,
тогда
y
0
= Ae
Ax
z + e
Ax
z
0
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
