Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 3 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
решение уравнения (1.2) становится неограниченно большим при x → ∞. В этом случае
говорят, что решения уравнения (1.1) неустойчивы.
Понятие устойчивости, в действительности, является сложным. Нет единого опреде-
ления, удовлетворяющего всем целям.
Определение 1.1. Решения уравнения
y
0
= f(x, y) (1.4)
называются устойчивыми по Ляпунову, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ky
2
(x
0
) −y
1
(x
0
)k < δ ⇒ ky
2
(x) − y
1
(x)k < ε (∀x > x
0
),
где y
1
и y
2
— произвольные решения уравнения (
1.4), а x
0
— фиксированная начальная
точка.
Определение 1.2. Решения уравнения (1.4)
y
0
= f(x, y)
называются асимптотически устойчивыми, если
∃δ > 0 : ky
2
(x
0
) − y
1
(x
0
)k < δ ⇒ lim
x→∞
ky
2
(x) − y
1
(x)k = 0,
где y
1
и y
2
— произвольные решения уравнения (1.4), а x
0
— начальная точка.
Например, все решения уравнения (1.1) в случае собственных чисел с отрицательной
вещественной частью являются асимптотически устойчивыми.
В некоторых случаях концепция устойчивости зависит от начальных условий. Рас-
смотрим, например, уравнение
y
0
= −y(y − 1)(y − 2) . (1.5)
