Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 21 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
примет вид
(
r
0
= αr ,
ϕ
0
= −β .
Решение
r = r
0
e
αt
, ϕ = −βt + ϕ
0
,
если α 6= 0, является спиралью, см. рис. 4. Особая точка при этом называется фокусом.
Закручивается или раскручивается спираль (с течением времени) — определяется знаком
вещественной части собственных чисел (т.е. знаком α). Если α > 0, спираль закручи-
вается и фокус называется устойчивым. Направление движения (по или против часовой
стрелки) — определяется знаком β.
Если корни чисто мнимые, вместо спиралей получаем семейство окружностей с цен-
тром в нуле. Особая точка при этом так и называется — центром.
Остается разобрать случай кратного собственного числа λ матрицы A. Если матрица
может быть диагонализована (т.е. существует базис из собственных векторов), то верны
те же рассуждения, которые относились к случаю различных вещественных значений
одного знака. В противном случае в жордановом базисе матрица A примет вид
e
A =
λ 1
0 λ
.
В соответствующих координатах u, v система запишется в виде
(
u
0
= λu + v ,
v
0
= λv .
Решение дается равенствами
(
u = (c
1
t + c
2
)e
λt
,
v = c
1
e
λt
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
