Геометрические вопросы теории дифференциальных уравнений. Будылин А.М. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 23 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Качественно опять фазовые кривые выглядят также, как в случае вещественных различ-
ных корней одного знака, т.е. особая точка будет являться устойчивым узлом в случае
λ < 0 и неустойчивым узлом при λ > 0.
Возвращаясь на фазовую плоскость x, y мы получим принципиально те же фазовые
портреты (с точностью до линейных искажений). Таким образом, на плоскости в случае
простых (т.е. если определитель соответствующей матрицы не равен нулю) линейных
систем дифференциальных уравнений имеется четыре типа особых точек: узел, седло,
фокус и центр.
Эта классификация сохранится и для нелинейных систем. Имеет место теорема о
линеаризации, утверждающая, что если линеаризованная система в окрестности особой
точки является простой, то фазовый портрет нелинейной системы в окрестности рассмат-
риваемой особой точки качественно эквивалентен фазовому портрету линеаризованной
системы, если только особая точка не является центром. Доказательство этой теоремы
выходит за рамки данного курса. Ограничимся лишь только замечанием, что в силу след-
ствия 1.7 в случае узла или фокуса устойчивость особой точки нелинейной системы будет
определяться устойчивостью особой точки соответствующего линеаризованного уравне-
ния: устойчивость особой точки в нуле для уравнения (2.6) определяется устойчивостью
особой точки (узла или фокуса) линеаризованного уравнения 2.7.
2.2. Понятие о предельном цикле
В предыдущем параграфе мы рассматривали решения автономных систем на плоскости
только в окрестности особых точек (имеются в виду, конечно, нелинейные системы). Во
многих задачах бывает нужна информация о глобальных решениях. Выяснение глобаль-
ных свойств решений является задачей значительно более сложной. Достаточно заметить,
что две нелинейные системы могут иметь одинаковое число особых точек одинакового
характера (качественно эквивалентных) и одинаково расположенных, но при этом в це-
лом фазовые портреты этих систем не будут качественно эквивалентными. Одним из
интересных проявлений глобальных фазовых портретов являются предельные циклы —
изолированные замкнутые орбиты, т.е. такие замкнутые фазовые траектории, в некото-

Страницы