Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 24 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
рой окрестности которых нет других замкнутых траекторий. Примером является система,
имеющая в полярных координатах вид
(
r
0
= 1 − r
2
,
ϕ
0
= 1 .
Предельным циклом является окружность r = 1.
Имеются глубокие результаты, описывающие условия появления предельных циклов
(теория Пуанкаре–Бендиксона). Например, если некоторая компактная область в фазовой
плоскости обладает тем свойством, что любая траектория, с началом в этой области,
остается в области во все последующие моменты времени и если в этой области нет
неподвижных точек, то в рассматриваемой области существует предельный цикл.
Мы остановимся на доказательстве одного простого критерия, гарантирующего от-
сутствие предельных циклов.
Теорема 2.1. Пусть в односвязной области D фазовой плоскости функции f (x, y) и
g(x, y) непрерывно дифференцируемы и сумма
∂f
∂x
+
∂g
∂y
знакоопределенна. Тогда в области D нет замкнутых траекторий системы
(
x
0
= f(x, y) ,
y
0
= g(x, y) .
Доказательство. Пусть кривая Γ является замкнутой траекторией для рассматриваемой
системы. Тогда на ней
dy
dx
=
g
f
⇒ gdx − f dy = 0 (x, y ∈ Γ) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
