Геометрические вопросы теории дифференциальных уравнений. Будылин А.М. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 26 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3. Уравнения в частных производных 1-го порядка
3.1. Вводные замечания
С геометрической точки зрения обыкновенному дифференциальному уравнению отве-
чает заданное в некотором конфигурационном пространстве поле направлений (т.е. в
каждой точке конфигурационного пространства задана прямая) и задача интегрирова-
ния сводится к нахождению интегральных кривых, т.е. таких кривых, касательные к
которым совпадают с направлениями поля. В случае уравнения в частных производных
вместо поля направлений задается поле плоскостей (линейных пространств размерно-
сти больше 1), т.е. в каждой точке конфигурационного пространства задается плоскость
и задача интегрирования сводится к нахождению интегральной поверхности, т.е. такой
поверхности, касательные плоскости к которой совпадают с плоскостями поля. Одна-
ко интегрируемые поля плоскостей оказываются исключительным явлением. Уже поле
двумерных плоскостей в трехмерном пространстве не интегрируется в общем случае.
Например — поле плоскостей dz = y dx в пространстве с координатами x, y, z. То есть,
не существует функции F (x, y, z) такой, чтобы уравнение F (x, y, z) = 0 определяло по-
верхность, в каждой точке (x, y, z) которой касательная плоскость была бы определена
уравнением (Z −z) = y(X −x) (здесь X, Y, Z — координаты на плоскости). Действитель-
но, такая функция F не должна зависеть от y :
∂F
∂y
= 0, что противоречит равенству
∂F
∂x
= y. Все это говорит о том, что нет общей теории для дифференциальных уравне-
ний в частных производных. Некоторые уравнения имеют свои теории, другие — нет.
Мы познакомимся со случаем, когда есть полная теория — это случай [одного] уравне-
ния в частных производных первого порядка. Для системы линейных дифференциальных
уравнений (приведенный выше пример относится к линейной системе) такой теории уже
нет.
Уравнение в частных производных первого порядка имеет вид
F (x, u, ∇u) = 0 ,

Страницы