Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 27 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
или в координатной записи
F (x
1
, . . . x
n
, u, p
1
, . . . p
n
) = 0 ,
где p
i
=
∂u
∂x
i
= u
x
i
, где u — искомая, а F — заданная функции.
Прежде чем переходить к общей теории рассмотрим примеры.
Уравнение
∂u
∂x
1
= 0 , (3.1)
очевидно, в качестве общего решения имеет произвольную функцию u = u(x
2
, . . . x
n
),
не зависящую от x
1
. Это пример линейного уравнения в частных производных. Как мы
видим, пространство решений этого уравнения является бесконечномерным линейным
пространством. Такое положение типично (но не обязательно) для линейных уравнений
в частных производных.
Второй пример — уравнение эйконала в геометрической оптике. На плоскости x, y оно
имеет вид
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
= 1 . (3.2)
Пусть Ω — выпуклая замкнутая область с гладкой границей. Для точки (x, y) /∈ Ω
определим функцию u(x, y) как расстояние от точки (x, y) до области Ω. Тогда, как
нетрудно видеть, функция u является решением уравнения (3.2). Действительно, ∇u
является вектором, направленным в сторону наибыстрейшего возрастания функции u, т.е.
от точки (x, y) перпендикулярно к границе ∂Ω. На этом направлении скорость изменения
расстояния равна по абсолютной величине единице. Но |∇u| и есть скорость изменения
u на таком направлении (направлении наибыстрейшего изменения), т.е. |∇u| = 1, что
эквивалентно равенству (3.2). Можно показать, что любое решение уравнения эйконала
локально имеет вид суммы расстояния до некоторой кривой и константы.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Эйлера–Хопфа:
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0 . (3.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
