Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 29 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 3.1. Векторное поле v называется характеристическим векторным полем,
а его фазовые кривые — характеристиками уравнения (3.4).
Напомним, что фазовые кривые — это проекции интегральных кривых дифференци-
ального уравнения
x
0
= v(x) (3.5)
на фазовое пространство (пространство x-ов). Здесь штрих
0
означает производную по
независимой переменной t.
Определение 3.2. Первыми интегралами системы (3.5) называются дифференцируемые
функции U(x), которые постоянны на фазовых кривых поля v, т.е.
d
dt
U(x(t)) = 0 , (3.6)
если x(t) — решение уравнения (3.5).
Очевидно, что первые интегралы системы (3.5) и только они являются решениями ли-
нейного однородного уравнения в частных производных (3.4). Действительно, на фазовых
траекториях
d
dt
U(x(t)) =
n
X
i=1
∂U
∂x
i
·
dx
i
dt
=
n
X
i=1
∂U
∂x
i
· v
i
= 0 .
Рассмотрим, например, уравнение
n
X
i=1
x
i
∂u
∂x
i
= 0 .
Характеристическим является поле v = x. Решая уравнение x
0
= x найдем x = e
t
c.
Таким образом, характеристики — лучи x = e
t
c (здесь множитель e
t
играет роль па-
раметра: при изменении t от −∞ до +∞ точка x пробегает луч, исходящий из начала
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
